- •Міністерство освіти і науки україни донецький національний технічний університет Косолапов ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу частини 1 - 2
- •Донецьк 2009
- •Частина перша: вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування математичний аналіз
- •Підручники
- •Збірники задач
- •1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
- •Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці
- •В. Границя числової послідовності
- •Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності
- •Д. Нескінченно малі (нм)
- •Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими
- •Є. Нескінченно великі (нв)
- •Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
- •1.1.3. Властивості границь
- •А. Загальні властивості границь
- •Б. Властивості нескінченно малих
- •В. “Арифметичні” властивості границь
- •Г. Властивості нескінченно великих
- •1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
- •Б. Друга стандартна границя
- •1. (Третя стандартна границя) ( 3 )
- •2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )
- •1.1.5. Відсотки в інвестиціях
- •1.2. Неперервність функцій
- •1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
- •Б. Властивості неперервних функцій
- •В. Точки розриву
- •1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
- •1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
- •2. Диференціальне числення
- •2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції
- •Б. Продуктивність праці
- •В. Дотична до кривої
- •2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної
- •Б. Частинні похідні функції декількох змінних
- •2.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •2.1.4. Диференційовність і неперервність
- •2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
- •1. (Похідна суми і різниці).
- •2. (Похідна добутку).
- •3. (Похідна частки).
- •2.2. Техніка диференціювання
- •2.2.1. Похідна складеної функції
- •2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
- •Б. Випадок оберненої функції
- •В. Випадок функції, заданої параметрично
- •2.2.3. Похідні вищих порядків
- •2.2.4. Диференціал
- •2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
- •2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність а. Темп зміни функції
- •Б. Граничні величини
- •В. Еластичність функції
- •Властивості еластичності
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної
- •2.3.1. Теореми Ферма і Ролля
- •2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші
- •2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей
- •А. Невизначеності типів
- •Б. Деякі інші типи невизначеностей
- •2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена
- •Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)
- •В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
- •Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу 5
- •1.1. Границя функції 5
- •1.2. Неперервність функцій 43
- •2. Диференціальне числення 60
- •2.2. Техніка диференціювання 71
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної 97
Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
1. Якщо функція (x) є нм, то - нв (символічно: ).
■Нехай, наприклад, функція (x) є нм при . Тоді на підставі озна-чення нм, сформульованого в п. 1.2.5, маємо
.
Нехай далі
.
Якщо число є як завгодно малим, то обернене число
можна вважати як завгодно великим, звідки отримуємо
.
На підставі п. 1.2.7 це означає, що функція
є нв при .■
Аналогічно можна довести і інший факт, а саме:
2. Якщо функція f (x ) є нв, то - нм (символічно: ).
Про існування зазначених співвідношень можна було здогадатись вже вище на підставі наведених прикладів нм і нв (див. теореми 4, 6).
1.1.3. Властивості границь
Означення 22. Функція називається обмеженою зверху на множині , якщо існує деяке число C1 таке, що для будь-якого виконує-ться нерівність ,
.
Аналогічно, функція називається обмеженою знизу на множині , якщо
.
Нарешті, функція називається обмеженою на X , якщо вона є там об-меженою і зверху, і знизу:
Теорема 6. Функція є обмеженою на множині X тоді і тільки тоді, якщо
.
Спробуйте довести цю теорему самостійно.
А. Загальні властивості границь
Всі наступні властивості є справедливими для будь-якого типу гранич-ного переходу. Для визначеності перші п"ять розглядаються для випадку грани-ці функції в точці а, а остання – для границі числової послідовності.
1 (єдиність границі). Функція може мати не більше однієї границі в точці а, тобто якщо
,
то .
■Доведімо властивість від супротивного. Нехай наприклад За означенням границі,
.
Нехай - настільки мале, що . Тоді в отримуємо
, або ж ,
що неможливо. Отримане протиріччя доводить справедливість властивості.■
2. Якщо існує границя
,
то функція f (x) є обмеженою в деякому околі точки a.
■За означенням границі
.
Таким чином в функція обмежена зверху числом , знизу –числом , а отже є обмеженою.■
3. Функція f (x), яка має в точці а додатну границю,
,
сама є додатною в деякому околі точки.
■Доведення випливає з доведення попередньої властивості, якщо взяти настільки малим, щоб різниця b - була додатною. Тоді в матимемо
.■
4 (наслідок). Якщо в деякому околі точки a функція f (x) додатна або невід"ємна ( або ), то її границя в цій точці, якщо вона існує, є невід"ємною,
■Властивість дуже просто доводиться від супротивного. Припустімо про-тилежне тому, що треба довести, а саме, що
На підставі властивості 3 функція повинна бути від"ємною в якомусь околі точ-ки а, нехай в Тоді в спільній частині околів , вона є і додатною (або невід"ємною) і в той же час від"ємною. Отримане протиріччя доводить спра-ведливість властивості.■
Зауваження. Умова властивості 4 припускає можливість як строгої, так і нестрогої нерівності ( або ) в , але відносно границі функції можна стверджувати тільки нестрогу нерівність.
Приклад. Для будь-якого натурального n виконується нерівність
,
але границя
дорівнює нулю і, отже, не є додатною.
5 (існування границі проміжної функції). Якщо в деякому околі точки a для трьох функцій виконується нерівність
,
причому функції мають в точці а одну й ту ж границю b,
,
то в тій же точці існує границя проміжної функції , яка також дорівнює b,
.
■ Факт
означає, що
.
Нехай - спільна частина околів і . Тоді в виконую-ться всі задіяні тут нерівності, звідки отримуємо
,
а отже
.
Таким чином, нами доведено, що
, тобто .■
Доведену властивість часто жартома називають теоремою про двох мілі-ціонерів. Як ви гадаєте, чому?
6. Якщо числова послідовність зростає (не спадає) і обмежена зверху або ж спадає (не зростає) і обмежена знизу, то вона збігається, тобто має грани-цю.
Сформульоване твердження є насправді не властивістю, а важливою тео-ремою, яку в рамках нашого втузівського курсу неможливо навіть довести. Ми можемо тільки наводити приклади її застосування.
Приклад. Відомо, що послідовність периметрів правильних n-кутників, вписаних в коло, є зростаючою. З іншого боку, вона є обмеженою зверху, на-приклад, периметром будь-якого описаного многокутника. Отже, на підставі 6 існує границя
,
яка й приймається за означення довжини кола. Аналогічно означаються площа круга, площі бокових поверхонь і об"єми круглих тіл (циліндра, конуса тощо).