2.2.4. Диференціал

Означення 3. Нехай функція однієї змінної x диференційовна в точці , а отже її приріст в цій точці дається формулою

, ( 14 )

де є нм при (див. формулу (14) з п. 2.1.4). Вираз

( 15 )

називається диференціалом функції y = f ( x ) в точці x₀. Якщо позначити його , матимемо

. ( 16 )

Зокрема, для арґументу x функції за формулою (16) маємо

, . Це означає, що диференціал незалежної змінної дорівнює його приросту, і ми можемо зобразити диференціал функції в його звичайному вигляді:

. ( 17 ) Рис. 1 Приклад. Диференціал синуса в довільній точці x дорівнює

Геометричний сенс диференціала ми можемо з"ясувати з рис. 1:

,

тобто диференціал є приростом ординати дотичної до графіка функції в точці , де, як звичайно, .

Поняття диференціала розглядають також для функцій декількох змінних.

Означення 4. Нехай - функція двох незалежних змінних, ди-ференційовна в точці . В такому разі її повний приріст в цій точці да-ється формулою (16) з п. 2.1.4,

де - нескінченно малі функції при . Диференціалом функції в точці називається (і відповідно позначає-ться) наступний вираз

. ( 18 )

Зокрема, диференціали арґументів дорівнюють їх приростам, оскільки

.

На цій підставі диференціал (18) можна записати у вигляді

. ( 19 )

Приклад. Знайти диференціал функції двох змінних в довільній точці .

Частинні похідні функції по x і по y відповідно дорівнюють

а тому на підставі формули (19)

Властивості диференціала схожі з властивостями похідної. Саме, якщо - дві диференційовні функції, то диференціали їх суми, різниці, добутку і частки дорівнюють

1. . 2. . 3. .

Як наслідок маємо

■Якщо, наприклад, - дві диференційовні функції однієї змінної, то диференціал їх добутку дорівнює

.■

4 (інваріантність, тобто незмінність форми диференціала). Диференціал функції має одну і ту ж форму незалежно від того, чи її арґументи є незалежни-ми змінними, чи вони є функціями інших незалежних змінних.

■Розглянемо дві типові ситуаціїї.

a) Якщо, наприклад,

,

тобто функція

є складеною функцією незалежної змінної t, то за правилом диференціювання складеної функції і за формулою (17) маємо

.

Отже, диференціал функції дорівнює

і отже має таку ж саму форму (17), яку б він мав, якби змінна x була незалежною, а не функцією.

b) Нехай тепер

, ,

і в цьому випадку

є складеною функцією двох незалежних змінних u і v. В наступних міркуваннях ми декілька разів використовуємо формулу (19), а також формули, схожі з формуламии (3) з п. 2.2.1. Маємо

Ми знов отримали диференціал в тій же самій формі, яку б він мав, якби x і y були не функціями, а незалежними змінними.■

Приклад. Знайти похідну функції , яку задано неявно рівнянням

.

Скориставшись тим, що ліва частина рівності залежить тільки від x, а права – тільки від y, візьмемо диференціали лівої і правої частин рівності. На підставі властивості 4 ми можемо це зробити, диференціюючи зліва по змінній x, а справа – по y, не замислюючись над тим, яка з змінних x, y є незалежною, а яка – функцією. Отже,

Міркування, подібні використаним, часто будуть застосовуватись пізніше в так званому інтеґральному численні.

Диференціали часто-густо застосовуються в наближених обчисленнях.

A) З одного боку ми можемо, наприклад, користуватися наближеними формулами:

( 20 )

для функцій однієї змінної і

( 21 )

для функцій двох змінних.

B) З іншого боку, ми можемо для функції однієї змінної покласти

( 22 )

з абсолютною похибкою

.

Для функції двох змінних ми можемо покласти

( 23 )

з абсолютною похибкою

.

Приклад. Нехай необхідно знайти наближене значення кореня

1. Беручи до уваги формулу (20), матимемо

B) Використовуючи тепер формулу (22), отримаємо

з абсолютною похибкою

.

Порівняймо цей результат з більш точним значенням кореня:

.

Приклад. Знайти наближене значення величини .

A) За допомоги формули (21) маємо

B) Використовуючи тепер формулу (23), маємо

з абсолютною похибкою

.

Означення 5. Диференціалом другого, третього, ..., n-го порядку функції називається диференціал її диференціала першого, другого, ... (n - 1)-го поряд-ку,

( 24 )

Якщо - функція однієї незалежної змінної x, то є довільним приростом арґументу, а отже є довільною сталою. На цій підставі отримуємо диференціал функції другого порядку:

.

Аналогічно ми доводимо, що

. ( 25 )

Якщо є функцією двох незалежних змінних x, y, то ,

- довільні прирости арґументів і також є довільними сталими. Припускаючи неперервність частинних похідних другого порядку функції (а отже рівність мішаних частинних похідних) отримаємо

. ( 26 )

Аналогічно

( 27 )

Формула (26) показує, що диференціал другого порядку функції двох змінних є квадратичною формою з матрицею

. ( 28 )

Приклад. Знайти диференціал другого порядку функції .

Частинні похідні функції двох перших порядків дорівнюють

,

і за формулою (26) отримуємо

.