- •Міністерство освіти і науки україни донецький національний технічний університет Косолапов ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу частини 1 - 2
- •Донецьк 2009
- •Частина перша: вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування математичний аналіз
- •Підручники
- •Збірники задач
- •1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
- •Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці
- •В. Границя числової послідовності
- •Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності
- •Д. Нескінченно малі (нм)
- •Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими
- •Є. Нескінченно великі (нв)
- •Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
- •1.1.3. Властивості границь
- •А. Загальні властивості границь
- •Б. Властивості нескінченно малих
- •В. “Арифметичні” властивості границь
- •Г. Властивості нескінченно великих
- •1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
- •Б. Друга стандартна границя
- •1. (Третя стандартна границя) ( 3 )
- •2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )
- •1.1.5. Відсотки в інвестиціях
- •1.2. Неперервність функцій
- •1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
- •Б. Властивості неперервних функцій
- •В. Точки розриву
- •1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
- •1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
- •2. Диференціальне числення
- •2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції
- •Б. Продуктивність праці
- •В. Дотична до кривої
- •2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної
- •Б. Частинні похідні функції декількох змінних
- •2.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •2.1.4. Диференційовність і неперервність
- •2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
- •1. (Похідна суми і різниці).
- •2. (Похідна добутку).
- •3. (Похідна частки).
- •2.2. Техніка диференціювання
- •2.2.1. Похідна складеної функції
- •2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
- •Б. Випадок оберненої функції
- •В. Випадок функції, заданої параметрично
- •2.2.3. Похідні вищих порядків
- •2.2.4. Диференціал
- •2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
- •2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність а. Темп зміни функції
- •Б. Граничні величини
- •В. Еластичність функції
- •Властивості еластичності
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної
- •2.3.1. Теореми Ферма і Ролля
- •2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші
- •2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей
- •А. Невизначеності типів
- •Б. Деякі інші типи невизначеностей
- •2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена
- •Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)
- •В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
- •Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу 5
- •1.1. Границя функції 5
- •1.2. Неперервність функцій 43
- •2. Диференціальне числення 60
- •2.2. Техніка диференціювання 71
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної 97
1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
Розпочнімо з наступного прикладу.
Приклад. Нехай задано функцію однієї змінної (рис. 4)
з областю визначення , і нехай x прямує до числа 3 (тобто ). Ми бачимо (див. таблицю 1), що відповідні значення функції прямують до числа 6, . Цей факт ми фіксуємо наступними позначеннями
Ми повинні дати точне означення процесу прямування функції до числа.
Table 1
x |
2.94 |
2.96 |
2.98 |
3 |
3.02 |
3.04 |
3.06 |
y = f (x) |
5.94 |
5.96 |
5.98 |
Doesn’t exist |
6.02 |
6.04 |
6.06 |
|
0.06 |
0.04 |
0.02 |
|
0.02 |
0.04 |
0.06 |
Нехай , а - довільне додатне число, яке ми можемо вважати як зав-годно малим. Розглянемо абсолютну величину різниці між довільними значен-нями функції і числом 6. Матимемо
Наприклад,
,
якщо ;
( ,
якщо і .
Таким чином, для будь-якого додатного як завгодно малого числа існує окіл точки x = 3, тобто інтервал ( на рис. 4), такий, що для довільного , що потрапляє в проколений окіл точки x = 3, тобто = , виконується нерівність
.
Сказане можна висловити символічно таким чином:
Це й є точне означення того факту, що границя нашої функції, якщо x прямує до 3, дорівнює 6, або, що те ж саме, функція прямує до числа 6, якщо її арґу-мент x прямує до числа 3.
Нерівність є еквівалентною наступним співвідношенням (нерівності та включенню)
,
що дозволяє висловити геометричний сенс того факту, що
Рис. 4 (див рис. 4). Саме, якщо x належить проколено-му околу
точки x = 3, то відповідні значення функції знаходяться в -околі точ-ки 6, а відповідна частина її графіка лежить в заштрихованій 2 -смужці, обме-женій прямими
.
На основі розглянутого прикладу ми в змозі дати загальне означення гра-ниці функції , якщо x прямує до якоїсь точки a (або, як часто кажуть, границі функції в точці x = a). Функція може залежати як від однієї, так і від n змінних.
Означення 14. Число b називається границею функції при (границею функції в точці a), або при , якщо для будь-якого додатного як завгодно малого числа існує окіл точки a такий, що для довільного значення x з області визначення функції, яке належить проколеному околу точки a, виконується нерівність
,
або, що те ж саме, подвійна нерівність і включення
.
Символічно,
,
якщо
.
Зауваження.
1) Точка a може належати або не належати області визначення фун-кції . Тому в означенні границі фігурує проколе-ний окіл точки a. Останній можна замінити простим околом , якщо
2) У випадку функції декількох змінних означення границі передбачає можливість прямування x до точки a Рис. 5 вздовж будь-якого шляху, який повністю лежить всере-дині області визначення функції.
3) У випадку n = 1, тобто для функції однієї змінної, неважко встановити геометричний сенс означення границі функції в точці a (рис. 5). Саме, для будь-якого існує окіл точки a (інтервал (m, n) на рис. 5) такий, що для всіх точок , які потрапляють в проколений окіл точки a, значення функції знаходяться в -околі точки , а відповідна частина її графіка лежить в заштрихованій 2 -смузі між прямими , .
4) Означення границі в точці а для функції однієї змінної часто-густо дається в формі, дещо відмінній від викладеної. Саме, окіл точки а припускається симетричним відносно точки. В такому разі його можна подати у вигляді інтервалу довжини і назвати -околом точки .
Оскільки
,
означення границі набуває однієї з двох форм:
якщо
або ж якщо
.
Приклад. Вище ми дали математичне означення того факту, що
.
Зараз ми можемо подати означення в такій формі:
або ж
.
Приклад. Довести на підставі означення границі, що
.
Областю визначення функції є множина всіх дісних чисел. Поведінку функції при показано в таблиці 2.
Table 2
x |
1.96 |
1.97 |
1.98 |
1.99 |
2.00 |
2.01 |
2.02 |
2.03 |
2.04 |
|
3.84 |
3.88 |
3.92 |
3.96 |
4.00 |
4.04 |
4.08 |
4.12 |
4.16 |
|
0.16 |
0.12 |
0.08 |
0.04 |
0.00 |
0.04 |
0.08 |
0.12 |
0.16 |
Нехай > 0 – додатне як завгодно мале число. Тоді
Таким чином, для будь-якого > 0 існує окіл точки x = 2, а саме
= ,
такий, що для всіх значень виконується нерівність
.
За означенням границі (з врахуванням зауваження 1) можемо написати
,
Геометричний сенс розглянутого граничного переходу вста-новіть самостійно.
Приклад. За допомогою означення тангенса довести, що для будь-якого
.
Рис. 6 ■Позначимо на лінії тангенсів три точки
(точки C, B, D відповідно, рис. 6) та з"єднаємо ці точки з центром O тригоно-метричного круга. Нехай
(рис. 6).
Отримуємо наступний результат (в символічній формі):
На підставі означення границі маємо ■
Можна поширити цей результат на довільне . Спробуйте зробити це самостійно.
За допомогою означення синуса, косинуса і котангенса (в тригонометрич-ному крузі) можна довести, що
.
Зауваження. Два попередні приклади та названі результати стосовно функцій дають нам перші приклади так званих неперервних функцій, тобто функцій, які посідають властивість вигляду
(границя функції в точці a дорівнює значенню функції в цій точці). Існує багато функцій такого гатунку. Нижче йтиметься про неперервність всіх основних еле-ментарних та елементарних функцій на своїх областях визначення. Але вже за-раз при обчисленні границь ми будемо брати цю неперервність до уваги, при-наймні в простих випадках.
Приклад. Довести, що функція двох змінних
не має границі в початку координат .
■Достатньо показати, що при наближенні до початку координат вздовж деяких двох різних шляхів ми отримуємо різні результати. Як такі шляхи виби-ремо, наприклад, прямі та . Вздовж прямої маємо
, .
а вздовж прямої - зовсім інший результат
, .
На підставі зауваження 2 це значить, що границі функції в початку координат, тобто при , не існує.■
Ми дали означення границі функції однієї або декількох змінних в точці a. Існують і інші типи граничних переходів. Ми коротенько розглянемо їх для функцій однієї змінної .