2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші

Теорема 3 (Лагранж¹). Якщо функція :

а) неперервна на відрізку ;

б) має похідну в інтервалі ,

то існує точка , для якої виконується наступна рівність:

, ( 1 )

або ж

( 2 )

■Позначмо

,

звідки

. ( 3 )

Замінюючи в (3) b на x, введімо допоміжну функцію

. ( 4 )

На підставі зазначених властивостей функції функція задовольняє всі умови теореми Ролля: вона неперервна на відрізку , має похідну

в інтервалі і набуває рівних значень на кінцях відрізка a, b ( по (4), по (3)). Отже, за теоремою Ролля існує точка , для якої по-хідна , тобто

.■

Геометричний сенс теореми полягає в наступному (рис. 5): якщо графік функції - неперервна крива, яка має дотичну в усіх своїх внутрішніх точках, то існує принаймні одна точка гра-фіка ( на рис. 5), в якій дотична до нього паралель-на хорді , що з"єднує кінцеві точки і Рис. 5 графіка.

Наслідок. Якщо в умовах теореми Лагранжа похідна функції дорівнює нулю, , то функція є сталою на відрізку .

■Для будь-якої точки існує точки така, що на підставі формули (2) мають

.

Звідси випливає, що .■ Рис. 6 Зауваження. Обидві умови теореми Лагранжа, що їх було накладено на функцію , є суттєвими для слушності теореми, зокрема для існування дотичної, паралельної хорді . В іншого боку, ці умови є достатніми, але не необхідними.

Приклад. Крива, зображена на рис. 6, не має дотичної, яка була б парале-льною хорді . Ця крива є графіком функції, котра хоч і неперервна на від-різку , але не має похідної в (єдиній!) точці .

Приклад. Функція, яку графічно подано на рис. 7, не задовольняє умови теореми Лагранжа, але її графік має на-

віть дві дотичні, паралельні хорді . Рис. 7 Приклад. За допомоги теореми Лагранжа довести, що для довільних a, b таких, що , виконується наступна нерівність:

.

■Функція задовольняє умови теореми Лагранжа для будь-якого відрізка , а тому існує така точка , що

. ( * )

Оскільки

,

легко отримуємо низку вірних нерівностей

Нарешті з урахуванням (*) маємо

що і треба було довести.■

Приклад. Довести самостійно, що

a) для ;

b) для ;

c) для .

Приклад. Використовуючи теорему Лагранжа, знайти наближене значення числа .

Розв"язок. Нехай

.

Теорема Лагранжа стверджує існування такої точки , що

.

Утворимо далі наступний ланцюжок оцінок:

звідки отримаємо

, .

В останньому запису всі десяткові цифри є вірними.

Приклад. Знайдіть самостійно наближене значення кореня .

Зауваження. Теорема Лагранжа дозволяє довести достатню умову дифе-ренційовності функції декількох (не менше двох) змінних. Доведімо, наприк-лад, теорему 1 з п. 2.1.4, в якій йдеться про функцію двох змінних.

■Нехай відповідно до умов теореми функція має час-тинні похідні в деякому околі точки , які неперервні в самій точці. Запишемо спочатку повний приріст функції в точці , тобто вираз

,

в формі

Застосуємо тепер теорему Лагранжа до двох різниць в дужках, а саме:

Внаслідок неперервності частинних похідних в точці можемо напи-сати

,

де

- нм при

Таким чином, маємо

що і треба було довести.■

Теорема 4 (Коші¹). Якщо функції

а) неперервні на відрізку ;

б) мають похідні на інтервалі ;

в) значення функції на кінцях відрізка не збігаються, ,

то існує точка , для якої виконується рівність

. ( 5 )

Доведіть теорему самостійно, покладаючи

і вводячи допоміжну функцію .