- •Міністерство освіти і науки україни донецький національний технічний університет Косолапов ю.Ф. Математичний аналіз першого курсу частини 1 - 2
- •Донецьк 2009
- •Частина перша: вступ до аналізу. Диференціальне числення та його застосування математичний аналіз
- •Підручники
- •Збірники задач
- •1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі а. Границя функції в точці
- •Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці
- •В. Границя числової послідовності
- •Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності
- •Д. Нескінченно малі (нм)
- •Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими
- •Є. Нескінченно великі (нв)
- •Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм)
- •1.1.3. Властивості границь
- •А. Загальні властивості границь
- •Б. Властивості нескінченно малих
- •В. “Арифметичні” властивості границь
- •Г. Властивості нескінченно великих
- •1.1.4.Стандартні границі а. Перша стандартна границя
- •Б. Друга стандартна границя
- •1. (Третя стандартна границя) ( 3 )
- •2. (Четверта стандартна границя) ( 4 )
- •1.1.5. Відсотки в інвестиціях
- •1.2. Неперервність функцій
- •1.2.1. Неперервність функції в точці а. Основні означення
- •Б. Властивості неперервних функцій
- •В. Точки розриву
- •1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області
- •1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення
- •2. Диференціальне числення
- •2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної а. Швидкість зміни функції
- •Б. Продуктивність праці
- •В. Дотична до кривої
- •2.1.2. Похідна і частинні похідні а. Похідна функції однієї змінної
- •Б. Частинні похідні функції декількох змінних
- •2.1.3. Похідні основних елементарних функцій
- •2.1.4. Диференційовність і неперервність
- •2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки
- •1. (Похідна суми і різниці).
- •2. (Похідна добутку).
- •3. (Похідна частки).
- •2.2. Техніка диференціювання
- •2.2.1. Похідна складеної функції
- •2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій а. Випадок неявної функції
- •Б. Випадок оберненої функції
- •В. Випадок функції, заданої параметрично
- •2.2.3. Похідні вищих порядків
- •2.2.4. Диференціал
- •2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
- •2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність а. Темп зміни функції
- •Б. Граничні величини
- •В. Еластичність функції
- •Властивості еластичності
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної
- •2.3.1. Теореми Ферма і Ролля
- •2.3.2. Теореми Лагранжа і Коші
- •2.3.3. Правило Лопіталя для розкриття невизначеностей
- •А. Невизначеності типів
- •Б. Деякі інші типи невизначеностей
- •2.3.4. Формули Тейлора і Маклорена а. Формули Тейлора і Маклорена для многочлена
- •Б. Розвинення бінома (формула бінома Ньютона)
- •В. Формули Тейлора і Маклорена для довільної функції однієї змінної
- •Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних
- •1. Вступ до математичного аналізу 5
- •1.1. Границя функції 5
- •1.2. Неперервність функцій 43
- •2. Диференціальне числення 60
- •2.2. Техніка диференціювання 71
- •2.3. Основні теореми диференціального числення функцій однієї змінної 97
2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт
Нехай деякий напрям (або напрямок) на площині визначено одиничним вектором (ортом)
, ( 29 )
а точки такі, що вектор є колінеарним вектору , (див. рис. 2).
Означення 6. Похідною функції двох змінних в точці за напрямом називається (і відповідно позначається) така границя:
. ( 30 )
Зауваження. Крім вислову "за напрямом" можна Рис. 2 використовувати такі: за напрямком, в напрямі, в нап-рямку.
Означення 7. Ґрадієнтом функції двох змінних в точці називається вектор
.( 31 )
Теорема 7. Похідна функції в точці за напрямом дорівнює скалярному добутку значення ґрадієнта функції в цій точці і орта напряму l,
( 32 )
■Нехай , а тому
;
.
Задану функцію можна розглядати як функцію однієї змінної t, а саме:
.
Формула (30) дає, що
,
і тому ми повинні знайти . Але на підставі формули (3)
і отже
.■
З означення скалярного добутку випливає, що похідна (32) за напрямом дорівнює
. ( 33 )
Тому вона набуває найбільшого значення, якщо , тобто якщо похідну функції в точці взято в напрямку ґрадієнта цієї функції в цій же самій точці. Цей факт можна записати наступним чином:
. ( 34 )
Можна сказати, що ґрадієнт функції в точці - це є вектор, який за величиною і за напрямком дає найбільшу швидкість зростання функції в цій точці.
Приклад. Частинні похідні функції по x або y є її похідними в напрямах осей Ox і Oy відповідно.
Приклад. Знайти похідні функції в точці в напряму: a) відомого вектора ; b) ґрадієнта функції в цій же точці ;
c) ґрадієнта функції в точці , відмінній від точки .
Розв"язок. Перш за все
,
і тому
.
Орти вектора і ґрадієнта функції в точці відповідно дорівнюють
.
Отже, на основі формул (32), (34) маємо
Теорема 8. Ґрадієнт є перпендикулярним до лінії рівня функ-ції , яка на площині xOy проходить через точку .
■Нехай лінія рівня (для певного значення C) проходить через точку (рис. 3). Кутовий коефіцієнт дотичної до цієї лінії в точці дорівнює
,
звідки отримуємо рівняння дотичної до лінії
, або
.
Звідси випливає, що є Рис. 3 перпендикуляром до лінії рівня l, бо перпендикулярний до напрямного вектора дотичної до l, а саме до вектора .■
Аналогічні означення і факти є справедливими в 3-вимірному просторі для функції трьох змінних , а саме:
, ( 35 )
,
( 36 )
, ( 37 )
. ( 38 )
Теорема 9. Ґрадієнт перпендикулярний до поверхні рівня функції , яка проходить че-рез точку .