Г. Формула Тейлора для функції декількох змінних

Формула Тейлора (29) для функції однієї змінної припускає просте перенесення на випадок функції декількох змінних.

Нехай

,

а функція n незалежних змінних

разів диференційовна. Тоді її повний приріст в точці може бути поданий в вигляді формули Тейлора з залишковим членом в формі Лагранжа

. ( 30 )

Для випадку функції двох змінних формулу Тейлора записуємо в такому вигляді

( 31 )

де

, ( 32 )

( 33 )

З формули (32) бачимо, що диференціал другого порядку функції двох змінних є квадратичною формою з симетричною матрицею (так званою матрицею Гессе¹) другого порядку,

. ( 34 )

У випадку n незалежних змінних диференціал другого порядку функцї є квадратичною формою

( 35 )

з симетричною матрицею (матрицею Гессе) n-порядку

( 36 )

МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ 4

Л І Т Е Р А Т У Р А 4

ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ТА ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ 5

1. Вступ до математичного аналізу 5

1.1. Границя функції 5

1.1.1.Функція (додаткові зауваження) 5

1.1.2. Границя. Нескінченно малі і великі 10

А. Границя функції в точці 10

Б. Однобічні границі функції однієї змінної в точці 15

В. Границя числової послідовності 16

Г. Границя функції на плюс або мінус нескінченності 18

Д. Нескінченно малі (нм) 20

Е. Зв"язок між границями функцій і нескінченно малими 21

Є. Нескінченно великі (нв) 22

Ж. Співвідношення між нескінченно великими (нв) і нескінчен-но малими (нм) 24

1.1.3. Властивості границь 24

А. Загальні властивості границь 25

Б. Властивості нескінченно малих 28

В. “Арифметичні” властивості границь 29

Г. Властивості нескінченно великих 33

1.1.4.Стандартні границі 35

А. Перша стандартна границя 35

Б. Друга стандартна границя 38

1.1.5. Відсотки в інвестиціях 41

1.2. Неперервність функцій 43

1.2.1. Неперервність функції в точці 43

А. Основні означення 43

Б. Властивості неперервних функцій 46

В. Точки розриву 48

1.2.2. Властивості функції, неперервної на відрізку або в замкненій обмеженій області 51

1.2.3. Метод інтервалів та його узагальнення 53

2. Диференціальне числення 60

2.1. ПОХІДНА 60

2.1.1. Задачі, які ведуть до поняття похідної 60

А. Швидкість зміни функції 60

Б. Продуктивність праці 60

В. Дотична до кривої 61

2.1.2. Похідна і частинні похідні 61

А. Похідна функції однієї змінної 61

Б. Частинні похідні функції декількох змінних 63

2.1.3. Похідні основних елементарних функцій 64

2.1.4. Диференційовність і неперервність 66

2.1.5. Похідні суми, різниці, добутку, частки 68

2.2. Техніка диференціювання 71

2.2.1. Похідна складеної функції 71

2.2.2. Диференціювання неявної, оберненої та параметрично заданої функцій 76

А. Випадок неявної функції 76

Б. Випадок оберненої функції 80

В. Випадок функції, заданої параметрично 81

2.2.3. Похідні вищих порядків 82

2.2.4. Диференціал 85

2.2.5. Похідна за напрямом. Ґрадієнт 90

2.2.6. Похідні в економіці. Еластичність 93

А. Темп зміни функції 93

Б. Граничні величини 94

В. Еластичність функції 94