9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.

Рассмотрим СЛАУ Ах=f (1)

Для того чтобы решить методом простых х=Вх+в (2)

х^(к+1)=Вх^к+в (3)

Существует условие на матрицу В при котором наш итерационный процесс сходится с любым начальным приближением. Часто в качестве начального приближения используют столбец свободных членов.

Теорема: (Критерий сходимости.)

Для того чтобы итерационный процесс сходился при любом начальном приближении к решению уравнения (2) необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В были меньше 1, т.е.( )( ).

х^(к+1) = В х^к + в= В (В х^(к-1) + в) + Е в = В²х^(к+1) + (В + Е) в = В² (В х^(к-2) + в) + (В + Е) - В³ х^(к-2)+(В²+В+Е)в=…=В^к+1х⁽⁰⁾+(Е+В+В²+…+В^к)в : (*)

Лемма1: Матрица В^m 0, m тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы В меньше 1 т.е. ( )( ).

Лемма2: Матричный ряд : Е+В+В²+…+В^к+…

сходится тогда и только тогда, когда В^m 0, m ,причём существует матрица (Е-В)^-1, которая и является пределом данного матричного ряда.

Док – во: (теоремы)

Итерационный процесс сходится к решению уравнения (2) : =(Е-В)^-1в , х^(к+1)→ .

Из (*) следует х^(к+1)→ = (Е-В)^-1в т.е. к решению уравнения (2).ч.т.д.

Как правилом в практике критерием для выяснения сходимости итерационного процесса не пользуются , т.к. требуется находить собственные значения матрицы В ,нахождение которого задача не менее сложная чем решение самой системы. На практике используют достаточный признак сходимости.

Теорема: (Достаточный признак сходимости)

Для того чтобы итерационный процесс (3) сходился к решению уравнения (2) при любом начальном приближении достаточно чтобы любая из норм матрицы В была меньше 1.

Док – во:

Т.к. все собственные значения матрицы В лежат в круге с центром (0,0) и радиусом г равным норме матрицы В имеем: ( )( ) .ч.т.д.

Нормы векторов и матрицы.

Нормы вектора:

-кубическая норма вектора. (i=1,…,n)

-октаэдрическая форма вектора.

-сферическая форма вектора.

Н ормы матрицы:

, (i=1,…,n)

, (j=1,…,n)

, (k=1,…,n)

Нормы векторов и матриц при употреблении должны быть согласованы:

Метод простых итераций является одношаговым методом. Метод простых итераций стационарен, это явный метод т.к.

: (*)

Приведём к уравнение (*) т.е.

.

Метод простых итераций является линейным методом

11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода

Этот метод является модификацией метода простых итераций и в некоторых случаях приводит к более быстрой сходимости. Итерации по методу Зейделя отличаются от простых итераций тем, что при нахождении компоненты приближения сразу используются уже найденные компоненты приближения с меньшими номерами . При рассмотрении развернутой формы системы итерационный процесс записывается в виде:

(1)

В каждое последующее уравнение подставляются значения неизвестных, полученных из предыдущих уравнений, что показано в записи выше стрелками.

Теорема (о достаточном условии сходимости метода Зейделя).

Если для системы какая-либо норма меньше единицы, т.е. , то процесс последовательных приближений (1) сходится к единственному решению исходной системы при любом начальном приближении . Записывая (1) в матричной форме, получаем

(2)

где Н,Р являются разложениями матрицы В, т.е.:

Если В=Н+Р, где Н= Р= .или

, i=1,…,n (3)

Метод является итерационным, одношаговым, стационарным, линейным, неявным.

Преобразуя уравнение (2) к виду , получаем матричную форму итерационного процесса метода Зейделя: , где - матрица перехода. Можно воспользоваться критерием и достаточным признаком сходимости, методом простых итераций для доказательства сходимости.

У метода простых итераций и метода Зейделя разные области сходимости, исходя из критерия сходимости, поскольку максимальное по модулю собственное значение ищется от разных матриц ( и ).Следовательно, существуют матрицы, для которых метод простых итераций сходится, и метод Зейделя не сходится и обратно. В качестве достаточного признака сходимости метода Зейделя используются те же самые ограничения на норму матрицы В.

Замечание: Существуют методы с ещё большей скоростью сходимости , но для симметричных матриц В – это методы релаксации. Методика решения задачи.

1.Преобразовать систему к виду . 2. Задать начальное приближение решения с произвольно или положить , а также малое положительное число (точность). Положить . 3. Произвести расчеты по формуле (1) или (2) и найти . 4. если выполнено условие окончания , процесс завершить и положить . Иначе положить и перейти к пункту 3.