Нахождения определителя матрицы методом Гаусса

Согласно теореме об LU разложении: А=В*С, по свойству определителя

3.Уточнение решения полученного методом Гаусса.

Пусть приближённое решение уравнения: (1)

где погрешность находится по следующей формуле: ,

а невязка: .

Найдем взаимосвязь между невязкой и погрешностью . Для этого подействуем оператором А на погрешность , т.е.

_т.е.

.

Пусть для любой правой части в (1) имеет место, следующее неравенство:

.

Построим итерационный процесс уточнения. Начальное приближение:

Для любого k найдём . - погрешность.

Найдём -ое приближение:

(3)

и докажем что -ое приближение будет наиболее ближе к точному , чем -тое

приближение.

Док – во:

т.е. приближение ближе к точному решению , чем .

ч.т.д.

Таким образом, решая систему (1) с правой частью методом Гаусса. Решение обозначаем за . Находиться невязка , решается система и находиться .

Из равенства (3) определяем новое приближение. Процедура выполняется до выполнения условия:

.

Замечание.

Уточнение иногда производят по упрощенной схеме. Задаются системы векторов невязок с убывающей нормой.

4. Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.

_{Определение. Ненулевая матрица А называется обратимой, если существует матрица А}^-1_{, называемая обратной и выполнено условие:}

_{Пусть Х – обратная матрица. Тогда}

(*)

где , и .

Тогда уравнение (*) можно представить следующим образом:

.(**)

частями

Правило: Подставляя различные k в (**) мы получим k-ый столбец. Затем запишем матрицу состоящую из . Таким образом, нужно решить n СЛАУ, с различными правыми частями , где в качестве столбца свободных членов поочередно берутся столбцы единичной матрицы. Разложение матрицы А достаточно сделать один раз.

5.Метод квадратного корня, решения систем линейно-алгебраических уравнений с эрмитовыми матрицами.

Пусть дана слау

(1),

где A – эрмитовая матрица.(комплексно сопряжен. и транспонированная)

Идея метода состоит в разложении матрицы в произведение трёх матриц т.е.:

A=S^*DS, (DS=B),

Где S – правотреугольная

S= ,

D – диагональная матрица

D= , d_ii=±1

Т.е. СЛАУ (1) примет вид

S^*DSx=f.

Если переобозначить S^*=B, DS=C, тогда дальше можно воспользоваться методом Гаусса.

А= = =

=S^*

Для однозначной разрешимости системы потребуем, чтобы диагональные элементы матрицы S были действительными числами и больше нуля. И тогда покажем, что элементы будут находиться однозначно.

5. i<j, то a_ij= (2)

6. i=j, то a_ij= = . (3)

7. i=1, то из (3) a₁₁=׀S₁₁׀²d₁₁ d₁₁=sign(a₁₁), S₁₁=

i=1,то из (2) a_1j= =S₁₁d₁₁S_1j . S_ij=a_ij/S₁₁d₁₁ , j=2,3,…n

8. i=2, то из (3) a₂₂-׀S₁₂׀²d₁₁=׀S₂₂׀d₂₂; d₂₂= sign(a₂₂-׀S₁₂׀²d₁₁)

i=2, то из (2) a_2j=S₁₂d₁₁S_1j+S₂₂d₂₂S_2j, j=3,4,…n

S_2j=

В общем случае:

d_ii=sign(a_ii- ) (4)

(5)

, j=i+1, i+2, … n (6)

Метод квадратного корня вычисляется в 2 раза быстрее чем метод Гаусса, но надо проверить, чтобы матрица S была эрмитовой, А – положительно определённой, т.е. ( )(Ах,х)>0.

Все главные миноры положительно определённой матрицы – положительны. Если матрица А – действительная, то диагональная матрица D=E , т.е. все её элементы единицы и формулы (4), (5), (6) упрощаются. Существует преобразование системы с произвольной матрицей А, к системе с эрмитовой матрицей:

Умножим (1) слева на A^*: А^*Ах=А^*f; Bx=g; B= А^*А; g= А^*f.

Переобозначив А^*А=В получим: Вх=g (*),

где В – эрмитовая матрица. Но трансформация Гаусса портит систему, решения уравнения (*) – не устойчиво.