53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
=а2
(1) – уравнение теплопроводности.
Рассмотрим
некоторый стержень длины l.
Требуется найти функцию U(x,t), которая удовлетворяет уравнению теплопроводности и подчиняется следующим законам: U(0,t)=1(t)
U(l,t)=2(t) (2) U(x,0)=(x)
Пусть известно начальное распределение температуры стержня (х) при t=0, пусть на концах стержня поддерживаются температуры: 1(t)=U(t,0), 2(t) =U(l,t).
Рассмотрим метод сеток. Введем замену переменной, чтобы избавится от а. =а2t
=
Будем
рассматривать уравнение без коэффициента
а2: при а=1
=[0,1]x[0,l]
Разобьем отрезок [0,l] на n частей с шагом h:
h1=
,
xi=ih1,
h2
t=jh2,
U(xi,ti)=Uij
U(0,tj)=1j
U(l,tj)=2j U(xi,0)=I
Необходимо найти решение в любой момент времени t.
Требуется осуществить замену дифференциальных операторов на разностные.
В зависимости от того какую будем использовать формулу, получим две формулы:
= (3)
Она работает на шаблоне:
= (4)
Она работает на шаблоне:
Введем замену =
,
подставим в (3):
Uij+1=(Ui+1j+Ui+1j)+Uij(1-2) (5)
В формулу (4):
Uij(1+2)=Uij-1+(Ui-1j+Ui+1j) (6)
(5) – явная формула,
т.к. зная точки на j уровне,
мы можем подсчитать на j+1.
(6) – неявная формула, т.к. точки на j
уровне выражаются через (j-1)
уровень. При 0<
формула (5) – устойчива, т.е. h2<
.
(6) – устойчива при любом .
Рассмотрим неявную схему:
=
Для решения в неявном виде придумали метод прогонки.
8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
Итерационные методы решения СЛАУ позволяют находить решения лишь как результат бесконечного итерационного процесса. Метод является самоисправляющимся, т.е. сбой на каком-либо шаге ведет лишь увеличению числа шагов, но не к потере точности решения.
Пусть дана слау
(1)
Выбирается начальное
приближение х(0) , а затем строим
все последующие. В общем случае приближения
строятся по следующей формуле:
(2)
Определение. Итерационный процесс называется m – шаговым, если для образования (k+1) – го приближения используются k предыдущих приближений.
X(k+1)=F(k)(x(k), x(k-1), …, x(k-m+1)).
Как правило, используют m=1, 2.
Определение. Итерационный процесс называется линейным, если функция F(k) линейная функция.
Определение. Итерационный процесс называется стационарным, если функция F(k) не зависит от k.
Всякий итерационный процесс может быть приведен к следующему виду: В(k)x(k+1)=Q(k)x(k)+b(k) (3),
где В(k),Q(k) – некоторые операторы, b(k) – элемент пространства, причем для В(k) существует обратный оператор.
На практике уравнение (1) приводят к виду (3)берут невырожденную матрицу В и итерационный процесс записывают в следующем виде : Вх=Bx+τ(f-Ax) : (3*),
где τ – некоторая константа. Если х* - точное решение уравнения (1), то оно точное решение уравнения (3*).
(k+1) – приближение : Вх(k+1)=Bx(k)+τk+1(f-Ax(k)) : (4). (5)
Канонический вид
двухслойной или одношаговой итерационной
схемы:
Где τk+1 – итерационный параметр.
Определение. Итерационный процесс называется явным когда для любого номера итерации k оператор Вk=Е.
Требованием любого итерационного процесса является то, что точное решение должно быть не подвижной точкой итерационного процесса.
Определение. Точка называется неподвижной для итерационного процесса, если начиная с некоторого итерационного номера наши решения совпадают: хk=х*..
Теорема: Если х* - точное решение уравнения (1), то оно является неподвижной точкой итерационного процесса (5) или (4).
Всякий итерационный процесс (1), для которого х* - неподвижная точка, может быть приведён к виду (4) или (5).
Док – во:1)Пусть х* - точное решение (1)
Ах*=f
х*=А-1f
Пусть х(0)=х*
В(0)х(1)=В(0)х(0)+τ1(f-x(0))=x(1)=x(0)=x*
2)(
)(
)(х(k)=x*)
B(k)x*=Q(k)+b(k)
(B(k)-Q(k))x*=b(k) : (*)
С другой стороны х* является решением Ах*=f
τk+1Ax*=τk+1f : (**).
Рассмотрим два уравнения (*) и (**) совместно, т.е.
Q(k)=B(k)-τk+1A
B(k)x(k+1)=(B(k)-τk+1A)x(k)+τk+1f
B(k)x(k+1)=B(k)x(k)+τk+1(f-Ax(k))
ч.т.д.
Согласно этой теореме мы имеем канонический вид разложения