21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
Р ассмотрим функцию одной переменной f(x).
Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
Корней может быть либо:
1)нечетное множество;
2)счетное множество;
3)конечное множество.
Поэтому, как правило, оговаривается интервал, в котором ищутся корни.
Функция имеет единственный корень на отрезке когда она:
1)непрерывна на отрезке , т.е. ;
2)на концах имеет значение разных знаков, т.е.
3)строго монотонна (для дифференцируемых функций строгая монотонность эквивалентна знакопостоянству производной).
Прежде чем решить задачу (1) требуется отделить корни, т.е. указать такие интервалы , каждый из которых содержит единственный корень.
Если функция - достаточно простая функция, то отделение корней можно осуществить графически. Если же вид функции сложный или функция не задана явно, то отделение корней осуществляется программно.
Для отделения корней поступают следующим образом:
задается некоторый шаг
ищутся отрезки длины изменения знака функции.
Будем считать, что корни уравнения (1) отделены и будем рассматривать отрезок , где существует единственный корень.
Метод простых итераций
22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
Пусть дана система скалярных нелинейных уравнений:
(1) где
,
или в векторной форме:
,
.
Требуется найти
,который
при подстановке в систему (1) превращает
каждое уравнение в верное равенство.
Поскольку мы имеем дело с методом итераций, то система (1) должна быть преобразована к виду
(2)
Если обозначить
,
,
,
то уравнения (1) и (2) можно записать в векторной форме:
и
.
Пусть
.
Введем в
метрику по правилу:
.
Для того, чтобы построить итерационный процесс, возьмем правило:
,
Чтобы этот
итерационный процесс сходился, нужно
чтобы оператор
был оператором сжатия.
Найдем коэффициент
сжатия
.
Будем предполагать, что
,
т.е. функции
- дифференцируемы в
.
Тогда возьмем от обеих частей максимум:
Если обозначить
и сделать число
:
,
то итерационный процесс будет сходиться,
и за нулевое приближение можно будет
брать любое нулевое приближение.На
практике находят ещё и область , в которой
выполняется условие:
.Тогда
начальное приближение берут из этой
области.
23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
Пусть дана система скалярных нелинейных уравнений:
(1) где , или в векторной форме:
, . Требуется найти ,который при подстановке в систему (1) превращает каждое уравнение в верное равенство
Метод наискорейшего спуска
24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Введем функции:
(1)
- система линейных уравнений.
Матрица W не зависит от точки х, следовательно, нет необходимости пересчитывать на каждом шаге.
где
-
невязка.
Отсюда получаем следующие формулы:
(7*)
(6*).