Метод половинного деления

Пусть дано уравнение f(x)=0 и отделен простой корень x^* т.е. найден такой отрезок [a;b], что x^*[a;b], и на концах отрезка функция имеет значения, противоположные по знаку. Процедура уточнения положения корня заключается в построении последовательности вложенных друг в друга отрезков, каждый из которых содержит корень уравнения. Отрезок делиться пополам точкой , где . Определяется, на каком интервале лежит корень, на или на , т.е. определяется знак значения и знаки произведений и . Если , то на интервале находиться корень. Если же - то корень на . Интервал сужается, и точка переименовывается в точку и процесс продолжается, т.е. , ,

,

…

Имеем замкнутые вложенные отрезки . По теореме Кантора о системе замкнутых вложенных друг в друга отрезках с , существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам, которая и будет точным решением уравнения(1).

левые концы отрезков образуют неубывающую ограниченную последовательность, а правые концы - не возрастающую последовательность. По теореме и та и другая последовательности имеют предел.

Метод половинного деления не требует дифференцируемости функции.

Скорость сходимости этого метода есть скорость сходимости геометрической прогрессии со знаменателем . Итерационный процесс прекращается, когда .Мы попадаем в интервал длины . Любая точка этого интервала можно принять за решения. Но точность, как правило, увеличивается, если взять середину этого отрезка.

Метод является достаточно универсальным. На функцию кроме непрерывности и разности знаков на концах не накладываются дополнительные условия. Для увеличения скорости сходимости метода интервал делиться на большее количество частей.

+

+

+

12.Метод вращения решения слау

В решении системы методом Гаусса, коэффициенты системы могут возрастать.

Рассмотрим систему Ax=f, т.е.

a ₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=f_{1 *}k₁ *(-k₂)

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=f_{2 *}k_{2 *}k₁

_{…………………..}

a_n1x₁+a_2nx₂+…+a_nnx_n=f_n

Сложим, получим

a ₁₂ a _1n f₁

(k₁a₁+k₂a₂₁)x₁+(k₁a₁₂+k₂a₂₂)x₂+…+(k₁a_1n+k₂a_2n)x_n=(k₁f₁+k₂f₂)

(-k₂a₁₁+k₁a₂₁)+…+(-k₂a_1n+k₁a_2n)x_n= f₂

18.Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.

Р ассмотрим функцию одной переменной f(x).

Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.

Корней может быть либо:

1)нечетное множество;

2)счетное множество;

3)конечное множество.

Поэтому, как правило, оговаривается интервал, в котором ищутся корни.

Функция имеет единственный корень на отрезке когда она:

1)непрерывна на отрезке , т.е. ;

2)на концах имеет значение разных знаков, т.е.

3)строго монотонна (для дифференцируемых функций строгая монотонность эквивалентна знакопостоянству производной).

Прежде чем решить задачу (1) требуется отделить корни, т.е. указать такие интервалы , каждый из которых содержит единственный корень.

Если функция - достаточно простая функция, то отделение корней можно осуществить графически. Если же вид функции сложный или функция не задана явно, то отделение корней осуществляется программно.

Для отделения корней поступают следующим образом:

1. задается некоторый шаг

2. ищутся отрезки длины изменения знака функции.

Будем считать, что корни уравнения (1) отделены и будем рассматривать отрезок , где существует единственный корень.

Метод хорд

Потребуется , чтобы - была дважды дифференцируема на .

Рассмотрим 4 случая различающиеся знаком 1-ой и 2-ой производной.

1. _,

2. _,

3. _,

4. _,

Р ассмотрим 2-ой случай.

2. _,

Требуется найти уравнение прямой проходящей через две точки, и , и найти координаты точки пересечения этой прямой с осью ОX.

1.Найдем прямую проходящую через точки А и .B

_{Выразим точку пересечения прямой с осью OX из уравнения прямой:}

Если тогда

_{- первое приближение через нулевую точку x}⁰ _{справа.}

Аналогично, строим прямую через точки и .Находим точку пересечения построенной прямой с осью ОХ и выражаем через построенное уравнение. В итоге получим второе приближение. Аналогичными построениями получим -ое приближение справа.

(*)

Если взять в качестве нулевой точки точку , то получим соответствующее приближение справа:

(**).

Для установления неподвижности точки применяется следующий критерий:

Критерий неподвижности точки: Точка будет неподвижной тогда и только тогда, когда , где t=а или t=b Если - тогда конец, является неподвижным и применяется формула (**), а если , то неподвижный конец и применяется формула (*).

Условие является условием выхода из итерационного процесса.