48 Метод правой прогонки.

И дея метода прогонки: разностное уравнение второго порядка разбивается на три разностные уравнения первого порядка.

Решить задачу – найти значение у в узлах. Будем искать значение у_i через значение y_i+1 с коэффициентами:

y_i=_i+1y_i+1+_i+1(11)

Рассмотрим равенство (9), подставим вместо у_i-1 выражение (11)

y_i-1=_iy_i+_i

A_i(_iy_i+_i)-C_iy_i+B_iy_i+1=-F_i (A_i_i-C_i)y_i+B_iy_i+1+(A_i_i+F_i)=0 сделаем замену: y_i по (11):

(A_i_i-C_i)(_i+1y_i+1+_i+1)+B_iy_i+1+(A_i_i+F_i)=0 y_i+1[(A_i_i-C_i)_i+1+B_i]+[A_iB_i+F_i+(A_i_i-C_i)_i+1]=0

(A_i_I-C_i)_i+1+B_i=0 (12) A_iB_i+F_i+(A_i_i-C_i)_i+1 (13) _i+1= (14) _i+1= (15)

формулы (11), (14), (15) – разностные уравнения первого порядка. Причем (11) – линейное, а (14) и (15) – линейные относительно _i и _i. Чтобы найти _i, _i, надо решить разностную задачу Коши. Найдем ₁ и ₁ – начальные значения, для чего воспользуемся формулой (9).

Выпишем равенство (11) при i=0:

Осуществим прогонку вправо в (14) и (15) и определим все коэффициенты _n, _n. Выпишем формулу (11) при i=n-1:

y_n=₂(_ny_n+₁)+₂ (1-₂_n)y_n=₂_n+₂

По (11) возвращаемся справа налево и находить у_i в узлах.

Метод сходится, если трехдиагональная матрица есть матрица с диагональным преобладанием (если на диагонали будут стоять коэффициенты: |C_i||A_i|+|B_i|), кроме первой и последней строки. Для последней строки: |₁|1, |₂|1 |₁|+|₂|<2. эти условия обеспечивают однозначную разрешимость системы.

Также существует метод встречной прогонки, а также метод левой прогонки, когда у_i+1 выражается через y_i.

49. Метод левой прогонки.

(9)-(10) – это система линейных алгебраических уравнений.

=

y_i=_i-1y_i-1+_i-1

A_iy_i-1-C_iy_i+B_i(y_i_i+_i)=-F_i

A_iy_i-1-C_iy_i+B_iy_i_i+B_i_i+F_i=0

A_iy_i-1+(-C_i+B_i_i)y_i+B_i_i+F_i=0

сделаем замену y_i

A_iy_i-1+(-C_i+B_i_i)( _i-1y_i-1+_i-1) +B_i_i+F_i=0

y_i-1[A_i+(-C_i+_i_i)_i-1]+[_iB_i+F_i+(_iB_i-C_i)_i-1]=0

A_i+(-C_i+_i_i)_i-1=0

_iB_i+F_i+(_iB_i-C_i)_i-1=0

_i-1=

_i-1=

Выпишем равенство при i=1:

y₁=₀y₀+₀

при i=n:

y_n=y_n-1_n-1+_n-1

Осуществим прогонку влево, определим все коэффициенты _n, _n.

y₀=₁(₀y₀+₀)+₁ (1-₁₀)y₀=₁₀+₁

51 Метод Либмана.

Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Пуассона:

U=f (1)

+ =f(y,x), x,y

_{Г= U|Г = (2)}

Рассмотрим задачу Дирихле (1)-(2): В качестве области  рассмотрим прямоугольную область:

Рассмотрим в области  сетку по ОХ: разобьем на n частей отрезок [a,b] с шагом h₁= , узлы будут вычисляться по х_i=a+ih₁, .

Рассмотрим в области  сетку по ОY: разобьем на m частей отрезок [c,d] с шагом h₂= , узлы будут вычисляться по y_j=c+jh₂, .

U(x_i,y_j)=U_{x j} F(x_i,y_j)=f_ij ₁(н_о)=_{1 о} ₂(н_о)=_{2 о} ₁(x_i)=_{1 I} ₂(x_i)=_{2 i}

Найдем вторую производную по х. Разложим функцию в ряд Тейлора по первому иетоду:

U(x_ih₁,y_j)=U(x_i,y_j) h₁U_x(x,y) U_xx(x,y) U_xxx(x,y)+O(h₁⁴)

Сложим два ряда: U(x+h₁,y)+ U(x-h₁,y)=2U(x,y)+h₁²U_xx(x,y)+O(h₁⁴)

U_xx(x,y)= +O(h₁⁴)

(x_i,y_j)

Аналогично можно сделать по у: (x_i,y_j)

В итоге мы получили, что наши д.у. во внутренних точках заменяются следующими уравнением:

+ =f_i j (3) ,

В этой форме участвуют пять точек. Получился следующий пяти-точечный шаблон:

Ч тобы решить нашу задачу, надо решить СЛАУ относительно функции U в узлах сеточной области. Всего уравнений столько, сколько узлов в области (n+1)x(m+1).

Из равенства (3) выразим значение функции в центральной точке шаблона, т.е. U_{i j}:

h₂²( )+h₁²( )=f_{i j}h₁²h₂²

U_{i j}(2h₂²+2h₁²)=(h₂²U_i-1, _j+h₂²U_i+1, _j)+h₁²U_{i j-1}+ h₁²U_{i j+1} - f_{i j}h₁²h₂²

U_ij= (h₂²U_{i-1 j}+h₂²U_{i+1 j}+h₁²U_{i j-1}+h₁²U_{i j+1}- f_{i j}h₁²h₂²) (4)

(4) – основная формула метода.

Рассмотрим случай, когда h₁=h₂ (это можно добиться, если число шагов укладывается в область).

h₁=h₂=h

U_ij= (U_i-1j+U_i+1j+U_ij-1+U_ij+1-h²f_ij ) (5)

Если f=0:

U_ij= ( U_i-1j+U_i+1j+U_ij-1+U_ij+1) (6)

Итак, мы показали, что на основе формулы (4) можно построить итерационный процесс, который называется процессом Либмана, он имеет вид:

= (h₂² +h₂² +h₁² +h₁² - f_{i j}h₁²h₂²) (7)

Процесс (7) сходится с любым начальным приближением (значит область можно заполнить любым начальным значением).

i,j | - |

Чтобы ускорить процесс необходимо выбрать начальное приближение к точному решению. Для оценки точного решения используется теорема:

Гармоничная функция принимает максимум и минимум на границе.

Для первоначального заполнения используется линейное заполнение либо по строкам, либо по столбцам.

Замечание: можно поступить для ускорения сходимости аналогично методу Зейделя.

= (h₂² +h₂² +h₁² +h₁² - f_{i j}h₁²h₂²) (8)

условие выхода: | - |

(8) – модифицированный метод Либмана (эта формула для точки, у которой известны значения слева и снизу на (к+1) шаге, а справа и сверху значение неизвестно).

52 Метод прогонки для решения задач параболического типа.

(4) умножим на h₁². (U_ij-U_ij-1)S=U_i-1j-2U_ij+U_i+1j

 S= =

U_i-1j-(S+2)U_ij+U_i+1j+SU_ij-1=0 (7)

Решение будем искать в виде: U_ij=a_ij(b_ij+U_i+1j), где a,b const U_ij.

Подставим представление (8) в формулу (7) вместо первого члена:

a_i-1j(b_i-1j+U_ij)-(S+2)U_ij+U_i+1j+SU_ij-1=0

U_ij(a_i-1j-S-2)+U_i+1j+SU_ij-1+a_i-1jb_i-1j=0

U_ij= [(SU_ij-1+a_i-1jb_i-1j)+U_i+1j]

При сравнении с (8) получаем: a_ij= b_ij= SU_ij-1+a_i-1jb_i-1j

При i=1 с одной стороны по (8): U_1j=a_1j(b_1j+U_2j)

С другой стороны по (7): U_0j-(S+2)U_1j+U_2j+SU_1j-1=0

U_0j=_1j

U_1j= ([_1j+SU_1j-1]+U_2j)

Тогда при сравнении с (8): a_1j= (9)

b_1j=_1j+SU_1j-1 (10)

При j=1 a₁₁=

b₁₁=₁₁+SU₁₀=₁₁+S₁ Итак: U_ij =a_ij(b_ij+U_i-1j)

a_ij= b_ij= SU_ij-1+a_i+1jb_i+1j

Начальные значения: a_nj= , b_n1=₂₁+S_n-1

Т.о., зная начальные значения коэффициентов a и b на каждом слое по формулам (9) и (10), мы можем пройти слева направо и подсчитать значения коэффициентов a и b во всех внутренних точках сетки на уровне j. А по известному значению и на правой границе. По найденным a и b можно осуществить обратный ход метода по (8) и получить на j-м временном фоне значения функции.

Аналогичная процедура повторяется для слоя j+1.

Можно построить метод и левой прогонки.