- •1 Метод Гаусса (lu-разложений).
- •2 Нахождения определителя матрицы методом Гаусса.
- •3 Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4 Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •30 Формула трапеций.
- •Оценим остаточный член:
- •31 Формула Симпсона ( параболы).
- •32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
- •33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
- •Свойства.
- •34 Интегрирование быстроосциллирующих функций.
- •Существование и единственность задачи Коши дается в теореме Пикара.
- •36 Метод Пикара.
- •37 Метод Эйлера.
- •Т.Е. Хоть и не сказано о том, что выполняется условие Липшица, но зато ограничено, и мы можем оценить | |l.
- •48 Метод правой прогонки.
- •49. Метод левой прогонки.
- •51 Метод Либмана.
- •Рассмотрим уравнение эллиптического типа – уравнение Пуассона:
- •53 Метод сеток для решения уравнений параболического типа.
- •8. Итерационные методы решение систем линейно-алгебраических уравнений.
- •Пусть дана слау
- •9. Метод простых итераций для решения линейно-алгебраических уравнений.
- •Нормы векторов и матрицы.
- •11. Метод Зейделя. Условия сходимости метода
- •1.Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Метод Гаусса решения слау.
- •Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Методика решения.
- •2. Теорема об lu-разложении кв. Матрицы. Нахождения определителя матрицы методом Гаусса. Теорема: (об lu – разложений матрицы).
- •Нахождения определителя матрицы методом Гаусса
- •3.Уточнение решения полученного методом Гаусса.
- •4. Нахождение элементов обратной матрицы методом Гаусса.
- •Пусть дана слау
- •14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.
- •Метод а.М. Данилевского
- •Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.
- •15. Проблема собственных значений. Степенной метод .
- •Степенной метод.
- •Обозначим соответствующие собственные векторы через
- •Степенной метод имеет задачу нахождения пары:
- •17. Скалярное нелинейное уравнение.Метод половинного деления (дихотомии).
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •Метод половинного деления
- •12.Метод вращения решения слау
- •18.Скалярное нелинейное уравнение. Метод хорд.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •18. Скалярное нелинейное уравнение. Метод касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •20.Скалярное нелинейное уравнение. Комбинированный метод хорд и касательных.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •21. Скалярное нелинейное уравнение. Метод простых итераций.
- •Требуются решить уравнение: (1), другими словами – найти нули функции, т.Е. Такие , которые обращают уравнение (1) в тождество.
- •22. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод простых итераций.
- •Если обозначить
- •23. Система скалярных нелинейных уравнений. Метод наискорейшего спуска.
- •24. Метод скорейшего спуска решения система линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система линейных алгебраических уравнений:
Пусть дана слау
(1),
где A – эрмитовая матрица. Идея метода состоит в разложении матрицы в произведение трёх матриц т.е.: A=S*DS, (DS=B),
Где S – правотреугольная
S= ,
D – диагональная матрица
D= , dii=±1
Т.е. СЛАУ (1) примет вид S*DSx=f.
Если переобозначить S*=B, DS=C, тогда дальше можно воспользоваться методом Гаусса.
А= = =
=S*
Для однозначной разрешимости системы потребуем, чтобы диагональные элементы матрицы S были действительными числами и больше нуля. И тогда покажем, что элементы будут находиться однозначно.
i<j, то
aij= (2)
i=j, то
aij= = . (3)
i=1, то
из (3) a11=׀S11׀2d11 d11=sign(a11), S11=
i=1,то из (2) a1j= =S11d11S1j . Sij=aij/S11d11 , j=2,3,…n
i=2, то из (3) a22-׀S12׀2d11=׀S22׀d22.
d22= sign(a22-׀S12׀2d11)
i=2, то из (2) a2j=S12d11S1j+S22d22S2j, j=3,4,…n
S2j=
В общем случае:
dii=sign(aii- ) (4)
(5)
, j=i+1, i+2, … n (6)
Метод квадратного корня вычисляется в 2 раза быстрее чем метод Гаусса, но надо проверить, чтобы матрица S была эрмитовой, А – положительно определённой, т.е. ( )(Ах,х)>0.
Все главные миноры положительно определённой матрицы – положительны. Если матрица А – действительная, то диагональная матрица D=E , т.е. все её элементы единицы и формулы (4), (5), (6) упрощаются. Существует преобразование системы с произвольной матрицей А, к системе с эрмитовой матрицей: А*Ах=А*f
Переобозначив А*А=В получим:
Вх=g (*),
где В – эрмитовая матрица. Но трансформация Гаусса портит систему, решения уравнения (*) – не устойчиво.
29 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Рассмотрим интервал на котором построена равномерная сетка узлов и известны значения функции в этих узлах:
Тогда
где
Так как система узлов равномерна, то
Следовательно
Отсюда получим
Коэффициенты называются квадратурными коэффициентами Ньтона-Котеса.
Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
Коэффициенты Ньютона-Котеса для узлов равноудаленных от концов отрезка, равны:
Сумма всех коэффициентов Ньютона-Котеса на равна 1:
Доказательство: Возьмем в формуле (1) . Тогда
ч.т.д.
При и среди коэффициентов Ньютона-Котеса существуют отрицательные коэффициенты.
Как правило, квадратичные формулы строятся с малым числом n т.к. большее число и ведет к росту погрешности.
30 Формула трапеций.
Э то квадратурная формула Ньютона-Котеса при .
Посмотрим имеет ли место квадратурная формула в этом случае.
Найдем коэффициенты по формуле Котеса:
;
.
Тогда .
Найдем погрешность созданную этой формулой:
Будем предполагать, что . Рассмотрим величину как функцию шага . Перепишем зависимость от .
Обратно:
Отсюда - формула остаточного члена квадратурной формулы трапеции.
Она имеет третий порядок точности по шагу, т.е. .
Оценим остаточный член:
31 Формула Симпсона ( параболы).
К вадратурная формула Ньютона-Котеса при . Будем считать, что . Заменим интеграл многочленом Лагранжа. При многочлен Лагранжа – квадратичная функция, т.е. парабола.
Подсчитаем коэффициенты Ньютона-Котеса, используя свойства коэффициентов.
по свойству. Следовательно, формула Симпсона будет выглядеть так:
Найдем величину остаточного члена: . Рассмотрим функцию , как функцию шага , относительно средней точки : .
, ,
,
- есть разностный аналог четвертой производной в некоторой точке.
По формуле Ньютона-Лейбница получим:
,
,
.
В итоге мы получим формулу остаточного члена квадратичной формулы Симпсона: , . Общая формула Симпсона.
Требуется на отрезке вывести равномерную систему узлов. Разобьем отрезок
на равных частей. Число должно быть четным, т.е. , и на каждой паре отрезков применим формулу Симпсона.
- остаточный член для функции Симпсона.
Формула Ньютона-Котеса при выглядит следующим образом: