32 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Рассмотрим интервал на котором построена равномерная сетка узлов и известны значения функции в этих узлах:
Тогда где
Так как система узлов равномерна, то
Следовательно
Отсюда получим
Коэффициенты называются квадратурными коэффициентами Ньютона-Котеса.
Свойства коэффициентов Ньютона-Котеса.
Коэффициенты Ньютона-Котеса для узлов равноудаленных от концов отрезка, равны:
Сумма всех коэффициентов Ньютона-Котеса на равна 1:
Доказательство: Возьмем в формуле (1) . Тогда ч.т.д.
При и среди коэффициентов Ньютона-Котеса существуют отрицательные коэффициенты. Как правило, квадратичные формулы строятся с малым числом n т.к. большее число и ведет к росту погрешности.
33 Квадратурные формулы наивысшей степени точности.
Их так же называют
формулами Гаусса. Мы заменяем интеграл
квадратурной формулой:
Интерполирование
функции
,
причем
когда
- множество многочленов степени не выше
.Степенью
точности квадратурной формулы называется
такая степень многочлена, при подстановке
которого вместо функции
в интеграл получится точное равенство
в квадратурной формуле или остаточный
член равен нулю. Таким образом, степень
точности квадратурной формулы равна
на
узле.
Замечание. Без ограничения общности рассуждений будем считать, что узлы нумеруются от 1 до n.
Тогда имеем для
квадратурных формул
узлов и
- степень точности.
Пусть необходимо
найти
.
Как правило, сложно построенные функции
или функции, имеющие особенности на
,
стремятся представить в виде произведения: 
где
- достаточно гладкая функция,
- весовая функция, которая вбирает в
себя особенности функции
.
Тогда заменим
Оказывается, равномерный способ распределения узлов интегрирования для повышения степени точности не является удовлетворительным, т.е. путем выбора (специального) узлов интегрирования можно повысить степень точности.
Th:
Для того чтобы квадратурная формула
имела наивысшую степень точности
,
где
- число узлов интегрирования, необходимо
и достаточно, чтобы:
квадратурная формула была формулой интерполяционного типа, т.е.
2.многочлен
был ортогонален с весом
на отрезке
любому многочлену степени не выше, чем
,
т.е.
,
где
- многочлен степени не выше
.
Доказательство:
Необходимость.
Первое свойство,
очевидно, выполняется из выкладок. Пусть
квадратурная формула точна, докажем
выполнение второго свойства: Пусть
степень многочлена
-
,
а
-
,
тогда степень многочлена
будет
,
так как
.
Достаточность. Пусть имеется свойство ортогональности. Докажем, что квадратурная формула будет точной.
Возьмем функцию
- многочлен степени не выше чем
.
Тогда 
,
где
,
- многочлены степени меньше
.Тогда
ч.т.д. Рассмотрим
второе условие – условие
ортогональности:
. Пусть
многочлен
имеет степень
,
так как равенство выполняется для
многочлена степени
,
то оно должно выполнятся для элементарных
многочленов
,
т.е. 
(*)
Это есть система
нелинейных
уравнений относительно неизвестных
значений узлов многочлена
,
которых
штук. Для однозначной разрешимости
необходимо чтобы число уравнений было
равно числу неизвестных, т.е.
,
следовательно
.
С учетом степени самого члена
мы имеем, что степень
-
.
Для точности рассуждений требуется показать существование и единственность такого многочлена , что его корни все различны, действительны и лежат внутри отрезка .
Докажем это.
Потребуем, чтобы
функция
была знакопостоянной, т.е.
.
Выпишем СЛАУ (*):
Т.к.
,
то
это система неоднородных линейных уравнений относительно
.
Она имеет единственное решение, когда
однородная система
, т.е. 
имеет только
тривиальное решение. Покажем это. Для
этого умножим каждое уравнение системы
на соответствующий коэффициент
и просуммируем по
.
Т.к.
и
,
то для любого
,
.
Следовательно, мы доказали, что однородное СЛАУ имеет только тривиальное решение. Это означает, что неоднородное система имеет единственное решение, т.е. многочлен ортогонален с весом любому многочлену степени меньше существует и единственен.
Покажем, что его корни лежат внутри и их ровно штук.
Пусть многочлен имеет действительных корней лежащих на , нечетной кратности:
соответственно
их кратности: 
Так как степень
равна
,
то
.
Тогда
,
где
- многочлен степени меньше
,
знакопостоянной на
.
Найдем
Допустим противное,
т.е. что
.
Тогда из последнего выражения получим
следующее:
,
,
так как ортогонален с весом любому многочлену степени меньше .
Но с другой стороны
интеграл отличен от нуля, поэтому наше
предположение неверно. Значит
