37 Метод Эйлера.

Метод Эйлера заключается в построении ломаной, которая приближалась бы к интегральной кривой.

Возьмем некоторый отрезок, на котором будем искать решение: [x₀, N] и возьмем разбиение отрезка:x₀, x₀+h, x₀+2h, …, т.е. равномерную систему узлов с шагом h.

Выпишем уравнение касательной в точке (х₀,у₀):

у^(х)=у(х₀)+у(х₀)(х-х₀)

у^(х)=у₀+f(х₀,y₀)(х-х₀)

За значение в точке х₁ возьмем значение касательной в точке х₁:

у₁=у(х₁)=у₀+f(х₀,y₀)(х₁-х₀)

у₁^{( )}=у₀+f(х₀,y₀)h

Выпишем уравнение касательной в точке (х₁,у₁):

у^(х)=у(х₁)+у(х₁)(х-х₁)

у^(х)=у₁+f(х₁,y₁)(х-х₁)

За значение в точке х₂ возьмем значение касательной в точке х₂:

у₂=у₁+f(х₁,y₁)(х₂-х₁)

у₂=у₁+f(х₁,y₁)h

На к-ом шаге уравнение касательной в точке (х_к-1, у_к-1) будет:

у=у_к-1+у'(х_к-1)(х-х_к-1)=у_к-1+f(х_к-1,y_к-1)(х-х_к-1)

За значение в точке х_к возьмем значение касательной в точке х_к:

y_к=у_к-1+f(х_к-1,y_к-1)h – формула метода Эйлера.

Ломаная Эйлера – кривая, полученная из отрезков касательных линий. Чем дальше отходим от точки х₀, тем больше погрешность наших вычислений. Метод обладает невысокой точностью. Для увеличения точности нужно уменьшить шаг. Чаще всего используют метод двойного пересчета: |y_h(x)- (x)|<. Порядок точности относительно шага h – O(h) – первого порядка.

Наше предположение о том, чтобы h брали постоянным не обязательно. Если мы имеем набор точек необязательно равноотстоящий, то можно повторить наши рассуждения. Разложить линейную функцию в ряд Тейлора около точки х₀ и взять только линейный член этого ряда, т.е. получим: у_к+1=у_к+h_k+1f(x_k, y_k).

Рассмотрим, как будут вести себя ломаные Эйлера, если задано другое начальное приближение: у(х₀)=z₀

|y₁-z₁|=| у₀+f(х₀,y₀)h₁-z₀- f(х₀,z₀)h₁||(y₀-z₀)+h₁(f(х₀,y₀)-f(х₀,z₀))|| y₀-z₀|+ h₁|f(х₀,y₀)-

-f(х₀,z₀)| | y₀-z₀|+ h₁L|y₀-z₀|=| y₀-z₀|(1+h₁L)| y₀-z₀|

при у₀=z₀ |y₁-z₁|=1+h₁L

|y(x)-z(x)|=| у_к+f(х_к,y_к)(х-х_к)- z_к+f(х_к,z_к)(х-х_к)||y_k-z_k|+(x-x_k)| f(х_к,y_к)- f(х_к,z_к)|

|y_k-z_k|+(x-x_k)L|y_k-z_k|=|y_k-z_k|(1+(x-x_k)L){ 1 и (x-x_k)L – это два первых члена разложения функции в ряд Тейлора} |y_k-z_k |

  | y_k-1-z_k-1 || y_k-1-z_k-1| ….. |y₀-z₀|

Если в начальной точке х₀ мы допускаем погрешность решения |y₀-z₀|, то по мере удаления от х₀ величина разности точного решения и приближенного решения (решения с погрешностью) в конечной точке не будет превышать . Погрешность, которую сделали на начальном шаге: |y₀-z₀|.

Теорема: пусть при фиксированном разбиении отрезка от х₀ до х, точками х₀, х₁,…, х_n с начальными значениями у₀ и z₀ построены ломаные Эйлера у(х) и z(x) соответственно. Если в области, содержащей и ломаную у(х) и ломаную z(x) выполняется соотношение: | |L, тогда имеет место оценка |y(x)-z(x)| |y₀-z₀|.

Мы это уже практически доказали.

|f(x,y₁)-f(x,y₂)| |y₁-y₂| L|y₁-y₂|

Т.Е. Хоть и не сказано о том, что выполняется условие Липшица, но зато ограничено, и мы можем оценить | |l.

Теорема(существования и единственности): пусть в области D={(x,y)| x₀xX, |y-y₀|b} функция f(x,y) в равенстве (1) непрерывна и ограничена : |f(x,y)|A, также удовлетворяет условию Липшица по у, и если выполняется х-х₀= , то:

1. при h_k0 ломаная Эйлера сходится равномерно, т.е. (х) сходится равномерно к непрерывной функции (х);

2. (х) – непрерывно дифференцируемая функция и является решением задачи (1)-(2);

3. задача (1)-(2) на [x₀,X] не имеет других решений.

Т.е. ломаная сходится к решению и решение единственно.

(Без доказательства).

38 Метод Рунге-Кутта.

Идея возникла в 1895 году. Рунге рассмотрел частный случай, Кутт обобщил.

Пусть SN; a₂₁

a₃₁, a₃₂

……….

a_S1,…,a_S ,_S-1 - R

c₁,…,c_S

b₁,…,b_S - числаR

подсчитываются:

k₁=f(x₀, y₀)

k₂=f(x₀+c₂h ,y₀+ha₂₁k₁)

k₃=f(x₀+c₃h, y₀+h(a₃₁k₁+a₃₂k₂))

………………………………………

k_S=f(x₀+c_Sh, y₀+h(a_{S 1}k₁+…+a_SS-1k_S-1))

и находится решение в узле х₁=х₀+h:

y₁=y₀+h(b₁k₁+…+b_Sk_S)

Это называется s - стадийным методом Рунге-Кутта.

Рассмотрим s=1: k₁=f(x₀,y₀)

y₁=y₀+hb₁k₁= hb₁f(x₀,y₀), если b₁=1, то получаем формулу Эйлера.

Коэффициенты удобно записывать в виде таблицы:

с2 с3 … сS	a21 a31 a32 ……… aS1 aS2 ….. aSS-1
	b1 b2 ……bS-1 bS

Свойство c_j=

На практике используют s=4: (2 схемы)

½ ½ 0	½ 0 ½ 0 0 1		1/3 2/3 1	1/3 -1/3 1 1 -1 1
	1/6 2/6 2/6 1/6			1/8 3/8 3/8 1/8

Классическая схема Метод трех восьмых

Точность O(h⁴) для 4-стадийного метода.

Классическая схема:

k₁=f(x₀,y₀)

k₂=f(x₀+1/2h,y₀+1/2hk₁), где 1/2h – смещение

k₃=f(x₀+1/2h,y₀+1/2hk₂)

k₄=f(x₀+h,y₀+hk₃)

y₁=y₀+h(1/6k₁+2/6k₂+2/6k₃+1/6k₄)

рассмотрим, что они обозначают геометрически.

к₁- тангенс угла касательной в точке (х₀,у₀), уравнение касательной: у=у₀+к₁(х-х₀)

к ₂- тангенс угла касательной в точке А(х₀+ h,у₀+ hk₁), точка А принадлежит первой касательной:

к ₃ - тангенс угла касательной в точке В(х₀+ h,у₀+ hk₂), точка В принадлежит прямой, параллельной второй касательной и проходящей через точку (х₀,у₀)

к ₄ - тангенс угла касательной в точке С(х₀+h,у₀+hk₃), точка С принадлежит прямой, параллельной третьей касательной и проходящей через точку (х₀,у₀)

В результате 1/6k₁+2/6k₂+2/6k₃+1/6k₄ – есть тангенс угла наклона касательной вблизи точки (х₁,y₁).

Метод трех восьмых:

k₁=f(x₀,y₀)

k₂=f(x₀+1/3h,y₀+1/3hk₁), где 1/3h – смещение

k₃=f(x₀+2/3h,y₀-1/3hk₁+hk₂)

k₄=f(x₀+h,y₀+hk₁-hk₂+hk₃)

y₁=y₀+h(1/8k₁+3/8k₂+3/8k₃+1/8k₄)

39. На практике используют разностные или сеточные методы решения: замена дифференциальных операторов, входящих в основное уравнение, начальные или граничные условия их разностными аналогами.

Замена осуществляется путем разложения искомой функции в ряд в окрестности данной точки. Задача сводится к поиску функции в данной системе узлов сеточной области в системе алгебраических линейных уравнений.

Рассмотрим разложение нашей функции у(х) в ряд Тейлора:

y(x+x)=y(x)+y(x)x+y(x) +… (1)

y(x-x)=y(x)-y(x)x-y(x) -… (2)

Выразим у(х) из (1):

у(х)= -у(х) -у(х) -…

или у(х)= +О(х) (3)

Выразим то же из (2) и получим: у(х)= +у(х) + у(х) +…

Или у(х)= +О(х) (4)

Вычтем: (1)-(2)

у(х+х)-у(х-х)=2у(х) +2у(х)

Выразим у(х): у(х)= -у(х) -…

Или у(х)= +О(х²) (5)

Мы получили три формулы, имеющие различные узловые шаблоны для одной и той же производной, входящей в задачу. Можно провести три различные замены разного порядка.

Произведем замену:

Рассмотрим на отрезке [a,b] сетку равномерную узлов х₁=а, х₂,…, х_n=b с шагом h. Заменим дифференциальный оператор разностным по формуле (4) в точке х_i. Обозначим у(x_i)=y_i

- y_i+ y_i+1=f_i (6) заменили дифференциальный оператор по (3).

- y_i-1+ y_i=f_i (7) заменили дифференциальный оператор по (4).

- y_i-1+0y_i+ у_i+1=f_i (8) заменили дифференциальный оператор по (5).

Разностное уравнение называется уравнением первого порядка, если для однозначного выявление решения достаточно знать решение в одной точке.

Разностное уравнение называется уравнением второго порядка, если для однозначного выявление решения достаточно знать решение в двух точках.

Уравнения (6)-(7) – разностные уравнения первого порядка. Уравнение (8) – разностное уравнение второго порядка На практике используются случаи, когда замена оператора разностным делается со вторым порядком точности относительно шага. С одной стороны это усложняет шаблон, но с другой стороны при более точной замене быстрее происходит поиск решения задачи. Более высокие степени точности требуют выписки более громоздких формул, поэтому разностная задача становится более сложной.

Аналогично можно выписать разностные формулы и для неравномерной сетки:

Ряд Тейлора: y(x_i+h⁺)=y­_i­+h⁺y(x_i)+(h⁺ )^{2 +…}

y(x_i-h^-)=y­_i­-h^-y(x_i)+(h^- )² ^+…

y(x_i)=y_i= +O(h⁺)

y_i= +O(h ^-)

(h^-)²y_i+1=(h^-)²y_i + (h^-)²h⁺y(x_i) + y(x_i) +…

(h⁺)²y_i-1=(h⁺)²y_i - (h⁺)²h^–y(x_i) + y(x_i) -…

y_i=

Будем искать решение уравнения y=f на отрезке [a,b] и рассматривать общие условия третьего рода на границе а и на границе b.

(*)

Рассмотрим замену дифференциального оператора в уравнении у=f и перейдем к уравнению (8). В общем случае уравнение (8) имеет вид:

A_iy_i-1-C_iy_i+B_iy_i+1=-F_i

С делаем замену производной в граничных условиях на шаблоне:

+к₁у₀=₁  у₀= (- у₁+₁)

у₀=₁у₁+₁

+к₂у_n=₂

у_n=₂у_n-1+₂

Наша задача (*) может быть преобразована к (9)-(10):

(9)-(10) – это система линейных алгебраических уравнений.

=

Матрица содержит много нулевых элементов и размерность n зависит от числа узлов в сетке, поэтому метод Гаусса, метод квадратного корня не эффективны. Но эта матрица трехдиагональная. А для таких систем существует метод решения, лучше, чем метод Гаусса, он быстрее – это метод прогонки.