14. Проблема собственных значений. Метод Данилевского.

Пусть дана матрица А:

Требуется найти её собственные значения (спектр матрицы) - числа _{, являющиеся корнями характеристического уравнения} (1) .

Определение: Вектор , называется собственным вектором матрицы А соответствующим собственному значению , если имеет место равенство: .

Запишем уравнение (1) в матричном виде

Различают полную и неполную проблему собственных значений. К полной проблеме относится задача определения всех собственных значений и соответствующих собственных векторов. К неполной проблеме – определения некоторых собственных значений и соответствующих собственных векторов.

Существующие численные методы делятся на точные и итерационные.

Метод а.М. Данилевского

Метод относится к точным методам, решающим полную проблему. В основе метода лежит следующая теорема.

Теорема: Преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы.

Рассмотрим не вырождающуюся матрицу S, тогда В=S^--1AS для матрицы А будет преобразованием подобия .У матриц А и В собственные значения одни и те же.

Нужно чтобы матрица В была такой, чтобы коэффициенты её характеристического уравнения определялись достаточно просто. Такой матрицей является матрица Фробениуса вида:

_{Её характеристическое уравнение имеет вид:}

_{где p1,p2 ,…,pn - коэффициенты первой строки матрицы Ф.}

Рассмотрим процедуру построчного перевода строк матрицы А в строки матрицы Ф.

Матрица А имеет вид:

Пусть . Разделим предпоследний столбец матрицы А на и вычтем этот столбец умноженный на элементы последней стоки матрицы из других столбцов. Это эквивалентно умножению матрицы А на матрицу справа:

Чтобы преобразование сохранило собственные значения, умножим слева на матрицу . Получим матрицу следующего вида:

_,

где последняя строка приведена к виду Фробениуса.

Применяя аналогичные действия, получим:

_{Но преобразование подобия в общем случае не сохраняет собственные векторы. Покажем это.}

_{Пусть x – собственный вектор матрицы А соответствующий собственному значению , т.е.}

_{,а – собственный вектор преобразованной матрицы соответствующий тому же собственному значению , т.е.}

_{У множая последнее равенство на S слева получим:}

Следовательно

собственный вектор можно найти зная матрицу S и собственный вектор

Найдем вектор :

.

В матричном виде :

или

Поскольку собственные вектора определяются с точностью до множителя, поэтому их можно нормировать, деля на какую – либо ненулевую компоненту(например последнюю, задавая её равной 1 ). Покажем, что если - собственный вектор, то - собственный вектор.

Возьмем 1 в качестве последней компоненты вектора , т.е. , тогда из (*) получим

_.

первое равенство (*) используется для проверки правильности счета.

15. Проблема собственных значений. Степенной метод .

Пусть дана матрица А:

Требуется найти её собственные значения (спектр матрицы) - числа _{, являющиеся корнями характеристического уравнения} (1) .

Определение: Вектор , называется собственным вектором матрицы А соответствующим собственному значению , если имеет место равенство: .

Запишем уравнение (1) в матричном виде

Различают полную и неполную проблему собственных значений. К полной проблеме относится задача определения всех собственных значений и соответствующих собственных векторов. К неполной проблеме – определения некоторых собственных значений и соответствующих собственных векторов.

Существующие численные методы делятся на точные и итерационные.