11.4 Метод точечных преобразований

Основан на замене истинного переходного про­цесса приближенным. Замена производится по участкам, для каж­дого из которых нелинейная часть характеристики представляется линейным отрезком. Это дает возможность получить интегрируемое линейное дифференциальное уравнение, приближенно отражающее процесс в пределах данного участка.

Прямой метод исследования устойчивости Ляпунова

Метод сводится к построению функции Ляпунова, которая связана с дифференциальным уравнением системы

(11.1)

где X_i, функции произвольны, удовле­творяют условию

X₁=X₂=. . .=X_n = 0 при x₁=x₂=…=x_n =0.

Функцией Ляпунова называется любая функция V=V(x₁,x₂,...,x_n), тождественно обращающаяся в нуль при x₁=x₂=...=х_п=0, если в ней взяты те же переменные x₁, x₂, ... х_п , что и в уравнении системы.

Теорема устойчивости нелинейных систем:

Если при заданных в форме (11.1) уравнениях системы, п-го порядка подобрать такую знакоопределенную функ­цию Ляпунова, чтобы ее производная по времени W(х) тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива асимптотически.

Рисунок 11.14 –Определение устойчивости методом Ляпунова

Например, пусть функция знакоопределенная положи­тельная, если функция окажется отрицательной, то есть , то изображающая точка M будет двигаться в сторону уменьшения V обусловливая затухание координат , следовательно система устойчива (рисунок 11.4).

11.5 Метод гармонической линеаризации

Это приближенный метод исследования автоколебаний, а также вынужденных колебательных режимов и приближенной оценки качества переходных процессов. Этот метод осно­ван на исследовании пове­дения системы при гармо­ническом воздействии на входе нелинейного элемента и замене периодической кри­вой на выходе нелинейного элемента первой гармони­кой. Например, если в системе автоматического управления есть нелинейный элемент - трехпозиционное реле. При подаче на него синусоидального напряжения графиче­ским путем можно получить выходную характеристику (рисунок 11.15).

Сущность метода гармонической линеаризации заключается в отыскании периодического решения на выходе нелинейного элемента, разложении сигнала на выходе нелинейного элемента в ряд Фурье и его замене первой гармоникой. Такая замена справедлива, если система автоматического регулирования является фильтром низких частот, хорошо гасящим колебания высших гармоник.

Рисунок 11.15 – Применение метода гармонической линеаризации

12 Дискретные системы

12.1 Основные определения

Если выходной и входной сигналы элемента

связаны непрерывной функциональной зависимостью, то такой элемент называется непрерывным. Выходные сигналы некоторых элементов, даже при поступлении на их вход непрерывного сигнала, могут иметь разрывы непрерывности первого рода, то есть изменяться скачком – дискретно. Такие элементы называются дискретными. Дискретными считаются и такие элементы, у которых выходные сигналы непрерывны, а входные имеют скачки непрерывности. Если в соответствии с принципом действия дискретными являются и входные и выходные сигналы, то такой элемент называется чисто дискретным.

Системы, в состав которой входит хотя бы один импульсный элемент, называется импульсной. Вид дискретного сигнала определяется характером работы дискретного элемента. Широко распространены такие дискретные элементы, сигналы которых имеют вид импульсов, модулированных по амплитуде (амплитудно-импульсная модуляция), ширине (широтно-импульсная модуляция), частоте (частотно-импульсная модуляция) и так далее (рисунок 12.1).

Рисунок 12.1 – Амплитудно-импульсная модуляция

Дискретный сигнал образуется из непрерывного в результате квантования по времени, по уровню или по времени и по уровню. Пусть на вход импульсного устройства, осуществляющего квантование (квантователя), поступает непрерывный сигнал

При квантовании по времени это устройство в моменты, кратные шагу квантования по времени , формирует на своем выходе импульсы , амплитуда которых численно равна величине входного сигнала в эти моменты времени. Выходной сигнал импульсного квантователя показан на рисунке 12.2.

Рисунок 12.2 – Квантование по времени

При квантовании по уровню импульсы на выходе появляются в те моменты времени, в которые входной сигнал принимает значения, кратные шагу квантования по уровню . Амплитуда импульсов равна величине входного сигнала в эти моменты времени. На рисунке 12.3 представлен выходной сигнал импульсного устройства, осуществляющего квантование по уровню. Шаг квантования как по времени так и по уровню может быть и постоянным и переменным. Рассмотрим простой случай, когда шаг квантования постоянный.

Рисунок 12.3 – Квантование по уровню

При квантовании и по времени и по уровню (рисунок 12.4) импульсы появляется в моменты времени, кратные . Амплитуда импульса кратна и имеет значение, ближайшее к значению входного сигнала в эти моменты времени. Системы, осуществляющие квантование и по времени и по уровню называются кодово-импульсными.

Рисунок 12.4 – Квантование по уровню и по времени

Операции, выполняемые квантователем по времени с постоянным шагом квантования можно представить как работу ключа, замыкающегося с периодом на время (рисунок 12.5)

Рисунок 12.5 – Представление квантователя

Момент замыкания ключа должен определяться дополнительным устройством, функционирование которого зависит от значения входного сигнала. Таким образом, алгоритм работы этого квантователя нелинейный, его можно реализовать с помощью нелинейного устройства со статической характеристикой ступенчатого типа (рисунок 12.6).

Рисунок 12.6 – Квантователь ступенчатого типа