7.1 Устойчивость по Ляпунову

Понятие «устойчивость» в смысле его математической трактовки в науку ввел русский ученый А.М. Ляпунов.

При исследовании устойчивости системы автоматического управления в общем случае приходится иметь дело с нелинейными задачами. Нелинейное дифференциальное уравнение, характеризующее возмущенное состояние системы, может быть разложено в ряд Тейлора и представлено в виде уравнения первого, второго или -ого приближения, содержащего величины первого, второго или -ого порядка малости.

А.М. Ляпунов показал, что все случаи исследования устойчивости следует разделять на две категории: некритических и критических случаев. Для некритических случаев справедливы две теоремы.

Теорема 1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то система будет устойчивой независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения первого приближения найдется по меньшей мере один с положительной вещественной частью, то система будет неустойчивой независимо от членов разложения выше первого порядка малости.

Все критические случаи имеют место лишь тогда, когда среди корней характеристического уравнения первого приближения есть некоторая группа корней, вещественная часть которых равна нулю, а остальная группа корней имеет отрицательную вещественную часть. В этом случае вопрос об устойчивости не может быть решен на основании исследования уравнений первого приближения.

Пусть, например, система описывается линейным дифференциальным уравнением -ого порядка

Решение этого уравнения

где - корни характеристического уравнения

Если система устойчива, то функция при , стремящемся к бесконечности, будет стремиться к , что возможно лишь в том случае, если каждый из членов будет стремиться к нулю. Для этого все корни должны иметь отрицательную вещественную часть.

Линейные системы, характеристические уравнения которых имеют один нулевой корень, при всех остальных корнях расположенных левее мнимой оси, называют нейтрально-устойчивыми.

При исследовании устойчивости системы автоматического управления возможно решение следующих задач:

выяснение, является ли устойчивой система при заданных параметрах;
определение допустимых изменений параметров без нарушения устойчивости системы;
анализ структуры системы и определение параметров, при которых она может стать устойчивой.

Первая задача может быть решена разными методами. Можно определить корни характеристического уравнения, и по ним определить знаки их вещественных частей, но это для уравнения ниже третьего порядка. Другие методы основываются на использовании критериев устойчивости - алгебраических критериев Рауса – Гурвица, частотных критериев Михайлова, Найквиста, а также условий устойчивости, определяемых логарифмическими частотными характеристиками.

7.2 Алгебраические критерии устойчивости Рауса и Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости позволяют установить, устойчива ли система или нет, по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения. Условия, устанавливающие факт отрицательных вещественных частей корней и будут являться критериями устойчивости. Впервые подобный критерий был предложен Раусом, а затем Гурвицем. Эти критерии одинаковы по содержанию и отличаются только формой их выражения. Критерий Гурвица нашел более широкое применение.

Пусть дано характеристическое уравнение

Вещественные части корней будут отрицательны в том случае, если все коэффициенты уравнения и диагональные миноры главного определителя будут положительными. Главный определитель составляется так, что по главной диагонали выписываются коэффициенты уравнения, начиная с в возрастающем порядке до . От каждого коэффициента главной диагонали по вертикали вверх выписываются коэффициенты с возрастающими и вниз – с убывающими индексами. Места в матрице коэффициентов с индексами больше и меньше нуля заполняются нулями.