7.3 Критерий Найквиста

Критерий Найквиста, основанный на использовании частотных характеристик, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического управления по её амплитудно-фазовой частотной характеристике в разомкнутом состоянии.

Замкнутая система будет устойчивой в том случае, если устойчива разомкнутая система и её амплитудно–фазовая характеристика не охватывает точку .

Кривая, представляющая частотную характеристику устойчивой системы, пересекается с осью абсцисс справа от точки и называется амплитудно-фазовой характеристикой первого рода (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы автоматического регулирования первого рода

Рисунок 7.2 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы автоматического регулирования второго рода

Кривая, пересекающаяся с осью абсцисс и справа и слева от точки , называется амплитудно-фазовой характеристикой второго рода (рисунок 7.2).

В этом случае система в замкнутом состоянии будет устойчивой при условии, если разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов амплитудно-фазовой характеристики через ось абсцисс слева от точки равна нулю.

При анализе устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике целесообразно ввести понятие запаса устойчивости по модулю и фазе.

Если через точку провести окружность единичного радиуса, получим точку пересечения её с амплитудно-фазовой характеристикой (точка ). Запас устойчивости по модулю характеризуется отрезком , а запас устойчивости по фазе – углом (рисунок 7.3).

Рисунок 7.3 – Оценка запасов устойчивости по амплитудно-фазовой частотной характеристике

В практике целесообразно пользоваться другой формулировкой критерия Найквиста. Система автоматического управления, неустойчивая в разомкнутом состоянии, является устойчивой в замкнутом состоянии, если разность между числом положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой характеристики через ось абсцисс слева от точки равна . Где - число корней характеристического уравнения с положительной вещественной частью. Сформулированный ранее критерий устойчивости Найквиста следует рассматривать как частный случай общей задачи при .

7.4 Критерий устойчивости Михайлова

Передаточная функция системы автоматического регулирования

,

где - характеристический полином.

Чтобы все корни характеристического уравнения:

имели отрицательные вещественные части, необходимо, чтобы после подстановки частоты в соответствующий полином полное приращение его фазы при изменении от 0 до составляло , где n – степень полинома . При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую – «годограф Михайлова».

Примеры годографов Михайлова для устойчивых систем приведены на рисунке 7.4 а для неустойчивых систем – на рисунке 7.4 б.

Свойства годографа Михайлова:

1. годограф всегда спиралевиден

2. при , угол поворота годографа равен нулю, следовательно годограф начинается на положительной вещественной полуоси;

3. так как при , годограф уходит в бесконечность.

4. При четном , годограф стремится к параллельно вещественной оси «+1», при нечетном годограф стремится к параллельно оси «+j».

Полная формулировка критерия Михайлова: для того, чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена замкнутой системы начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, квадрантов комплексной плоскости, при изменении частоты от 0 до (здесь - порядок характеристического уравнения системы).

а)

б)

Рисунок 7.4 – Пример годографа Михайлова

а) для устойчивых систем автоматического регулирования;

б) для неустойчивых систем автоматического регулирования;

Для построения годографа в прямоугольной системе координат необходимо записать в виде суммы

Пример 7.1

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы:

Проверить устойчивость системы путем построения годографа Михайлова. Для этого положим , тогда уравнение разделяется на действующую и мнимую части

Зададимся различными значениями и вычислим и . По полученным данным построим годограф Михайлова (рисунок 7.5). Годограф при обходит в положительном направлении три квадранта, следовательно, система устойчива.

Рисунок 7.5 – Годограф Михайлова для примера 7.1