5.4 Интегрирующее звено

Уравнение динамики интегрирующего звена

в операторной форме

Передаточная функция звена

В отличии от других звеньев под коэффициентом усиления k интегрирующего звена следует понимать отношение приращения выходной величины за единицу времени ко входной величине при условии, что последняя за это время не изменится.

Часто интегрирующее звено не соответствует конкретному элементу, а отражает математическую зависимость, например, между углом поворота и угловой скоростью вала исполнительного двигателя следящей системы.

Переходная функция интегрирующего звена показана на рисунке 5.18а.

h(t)=kt

Импульсная переходная функция интегрирующего звена показана на рисунке 5.18 б

а) б)

Рисунок 5.18 – Переходная и импульсная переходная функции интегрирующего звена

Примером интегрирующего звена может служить двигатель постоянного тока с постоянным током возбуждения, у которого можно пренебречь электромагнитной и электромеханической постоянными времени. Входной величиной является напряжение входа, а выходной - угол поворота вала.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика интегрирующего звена находится из выражения для комплексной передаточной функции звена

Учитывая, что ,

Получим выражение комплексной передаточной функции интегрирующего звена

,

где ,

Из полученных выражений можем построить амплитудно-фазовую частотную характеристику интегрирующего звена (рисунок 5.19). Эта характеристика представляет собой прямую, совпадающую с осью отрицательных мнимых чисел.

Аргумент не зависит от частоты, т. е. интегрирующее звено вносит запаздывание колебаний по фазе равное 90º на всех частотах.

Рисунок 5.19 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика интегрирующего звена

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегрирующего звена (ЛАХ), полученная в результате логарифмирования комплексной передаточной функции звена, соответствует выражению

,

то есть логарифмическая амплитудная характеристика – это сумма двух слагаемых, первое из которых не зависит от частоты. ЛАХ интегрирующего звена представляет собой прямую, проходящую через точку ω= 1 на расстоянии 20 lg k от оси абсцисс и имеющую наклон -20 дБ/дек. Логарифмическая амплитудная характеристика показана на рисунке 5.20 а. Логарифмическая фазовая частотная характеристика интегрирующего звена строится по формуле

и представляет собой линию, параллельную оси частот на рисунке 5.20 б.

а) б)

Рисунок 5.20 Логарифмическая амплитудная характеристика и логарифмические фазовые частотные характеристики интегрирующего звена

5.5 Дифференцирующее звено

Идеальным дифференцирующим звеном называется звено, выходная величина которого пропорциональна скорости изменения входного воздействия. Уравнение динамики дифференцирующего звена

Идеальных дифференцирующих звеньев не существует. Практически приходится иметь дело со звеньями, обладающими некоторой инерционностью.

Дифференциальное уравнение такого звена имеет вид

,

где Т, k – постоянная времени и коэффициент усиления звена соответственно.

В операторной форме уравнение дифференцирующего звена

Дифференцирующие звенья применяются как средства, корректирующие (улучшающие) переходный процесс. Примерами их являются стабилизирующие трансформаторы, емкостные дифференцирующие контуры, дифференцирующие мостовые схемы и другие. Передаточная функция идеального дифференцирующего звена

,

переходная функция

Уравнение амплитудно-фазовой частотной характеристики для реального дифференцирующего звена

Амплитудно-фазовая частотная характеристика дифференцирующего звена представляет собой уравнение окружности с центром на вещественной оси на расстоянии k/2 от начала координат. Амплитудная фазовая частотная характеристика дифференцирующего звена показана на рисунке 5.21.

Рисунок 5.21 – Амплитудно-фазовая частотная характеристика дифференцирующего звена

При изменении от 0 до ∞ вектор повернется на угол

Логарифмическая фазовая частотная характеристика дифференциального звена может быть получена, если прологарифмировать комплексную передаточную функцию звена .

Логарифмическая фазовая частотная характеристика дифференцирующего звена

Логарифмическая амплитудная характеристика L(ω) строится по трем составляющим:

• L₁( ) = 20 lg k – прямая параллельная оси абсцисс;

• L₂( ) = 20 lg T - прямая, имеющая положительный наклон 20дБ/дек;

• L₃( ) = -20 lg - две прямые, сопрягающиеся в точке _s=1/T, одна из которых совпадает с осью абсцисс, а вторая имеет отрицательный наклон – 20 дБ/дек. Суммируя составляющие, получим результирующую логарифмическую амплитудную характеристику дифференцирующего звена (рисунок 5.22).

Логарифмическая фазовая характеристика строится по точкам: характерные точки (рисунок 5.22).

Рисунок 5.22 – Логарифмическая амплитудная характеристика и логарифмическая фазовая частотные характеристики дифференцирующего звена