3. Символический метод расчета электрических цепей переменного тока

Символический метод, основанный на использовании комплексных чисел, нашел широкое применение для расчета сложных цепей переменного тока.

3.1. Комплексные числа

Комплексное число состоит из двух слагаемых

(алгебраическая форма комплексного числа), (88)

где а – действительное или вещественное число,

jb – мнимое число – это произведение действительного числа b на мнимую единицу j (йоm ) , (89)

- мнимая единица.

Комплексное число можно представить в виде вектора в комплексной плоскости (рис.23.а).

Отложив по осям действительную и мнимую части комплексного числа, получим точку М.

Положение т. М в комплексной плоскости можно определить длиной отрезка А и углом α межу положительным направлением действительной оси и отрезком.

Длина отрезка А выражает абсолютное значение или модуль комплексного числа:

, (90)

а угол α является аргументом комплексного числа:

. (91)

Любому комплексному числу в комплексной плоскости соответствует один вектор.

Согласно рис.23.а. тригонометрическое выражение комплексного числа следующее:

; , (92)

. (93)

В математике доказывается, что

. (94)

На основании этого комплексное число можно выразить в показательной форме:

, (95)

где е – основание натуральных логарифмов (е=2,71828…).

Рисунок 23

3.2. Алгебраические действия с комплексными числами

Для сложения и вычитания комплексных чисел они записываются в алгебраической форме:

. (96)

Сумма комплексных чисел

, (97)

разность комплексных чисел

. (98)

При сложении (вычитании) комплексов складываются (вычитаются) отдельно вещественные и мнимые составляющие.

На рис. 23.б видно, что сложение и вычитание комплексных чисел соответствует сложению и вычитанию векторов, изображающих эти числа.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить в алгебраической форме, как умножение обычных двучленов:

.

При делении комплексных чисел предварительно надо освободиться от мнимости в знаменателе, для этого числитель и знаменатель умножают на комплекс, сопряженный с комплексом знаменателя. Например,

, (99)

где - сопряженный комплекс. (100)

Произведение сопряженных комплексов есть действительное число, равное квадрату модулей

. (101)

Частное от деления двух комплексов

. (102)

Проще умножение и деление выполнять в показательной форме.

При умножении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются:

. (103)

При делении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел делятся, а аргументы вычитаются:

. (104)

Умножение комплексного числа в алгебраической форме на j (поворотный множитель), а в показательной форме на означает поворот соответствующего этому числу вектора на 90^о в положительном направлении (против часовой стрелки) без изменения его длины.