1.3. Расчет электрических цепей методом преобразований

Электрические цепи, если их нельзя рассчитать, применяя закон Ома и первый закон Кирхгофа, относятся к сложным цепям.

В некоторых случаях расчет сложных цепей упрощается, если треугольник сопротивлений (рис. 6.а) заменить звездой сопротивлений (рис. 6.б) или наоборот звезду заменить треугольником. Эта замена должна быть эквивалентной. Токи I_А, I_Б, I_В, и напряжения между точками А, Б и В треугольника и звезды должны быть неизменными.

Рисунок 6

Сопротивления лучей эквивалентной звезды R_А, R_Б, R_В находятся в определен-ных соотношениях с сопротивлениями сторон треугольника R_АБ, R_БВ, R_ВА.

При замене треугольника сопротивлений эквивалентной звездой сопротивления звезды определяются следующими выражениями:

; ; . (25)

Сопротивление луча эквивалентной звезды равно отношению произведения сопротивлений двух прилежащих сторон треугольника к сумме сопротивлений всех сторон треугольника.

При замене звезды эквивалентным треугольником каждое сопротивление треугольника определяется следующими выражениями:

; ; . (26)

Сопротивление стороны эквивалентного треугольника равно сумме сопротивлений двух прилегающих лучей звезды и их произведения, деленного на сопротивление третьего луча звезды.

1.4. Расчет электрических цепей методом узлового напряжения

Метод узлового напряжения дает возможность более просто, по сравнению с другими методами, определить токи в цепи с двумя узлами (рис. 7).

Рисунок 7

Примем за положительное направление токов во всех ветвях от узла Б к А и определим узловое напряжение (разность потенциалов между двумя узлами А и Б)

. (27)

. (28)

Ток первой ветви

, (29)

где .

Аналогично для остальных ветвей цепи

. (30)

. (31)

. (32)

По первому закону Кирхгофа для узла А

. (33)

Подставив в последнее уравнение выражение тока ветвей

(34)

. (35)

В общем случае узловое напряжение

. (36)

Узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимость соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей. Если какая-либо из ЭДС имеет противоположное направление, то в последнюю формулу она войдет со знаком «–». Далее можно найти токи во всех ветвях по формулам 29…32.

1.5. Расчет электрических цепей методом узловых и контурных уравнений

В основе расчета сложных электрических цепей методом узловых и контурных уравнений лежат законы Кирхгофа.

Составление системы уравнений при расчете электрических цепей данным методом производится в следующем порядке:

1. Число уравнений равно числу неизвестных токов в цепи (по числу ветвей). Направление токов в ветвях выбирается произвольно.

2. По первому закону Кирхгофа составляется (n-1) уравнений, где n – число узловых точек в схеме.

3. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа.

В результате решения системы уравнений определяем токи во всех ветвях, если заданы ЭДС и сопротивления. Если в результате расчета какие-либо токи получаются отрицательными, то это значит, что их направление противоположно выбранному.

Составить необходимое и достаточное количество уравнений по законам Кирхгофа для определения всех токов цепи (рис. 8) методом узловых и контурных уравнений.

Рисунок 8

В рассматриваемой цепи имеется 6 ветвей, и следовательно 6 различных токов, поэтому при расчете цепи необходимо составить 6 уравнений, причем три уравнения по первому закону Кирхгофа (в цепи n=4 узловых точки А, В, С, Д) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (контуры обходим по часовой стрелке). Составляем уравнения:

1) (для узла А); (37)

2) (для узла В); (38)

3) (для узла С); (39)

4) (для контура АВД); (40)

5) (для контура АВС); (41)

6) (для контура БСД) (42)