6. Электрические цепи с несинусоидальными периодическими напряжениями и токами

6.1. Основные понятия

В электротехнических установках токи и напряжения могут отличаться от синусоидальных. Причиной появления несинусоидальных напряжений и токов могут быть генераторы и потребители электрической энергии.

В электрических генераторах основной причиной несинусоидального напряжения (ЭДС) является неравномерное распределение магнитного потока в зазоре между статором и ротором.

Причиной появления несинусоидальных токов или напряжений в потребителях являются их нелинейные вольт-амперные характеристики (катушки со стальным сердечником, полупроводниковые приборы и др.).

Несинусоидальные колебания могут быть периодическими и непериодическими. При рассмотрении периодических несинусоидальных колебаний можно воспользоваться теоремой Фурье. Согласно этой теореме любая периодически изменяющаяся величина может быть представлена в виде суммы постоянной составляющей и ряда синусоидальных составляющих с кратными частотами.

Синусоидальные составляющие несинусоидальных величин называются гармониками. Синусоидальная составляющая, частота которой равна частоте несинусоидальной периодической величины, называется основной или первой гармоникой. Синусоидальные составляющие, частоты которых в 2, 3, …k раз больше частоты несинусоидальной величины, называются соответственно 2-й, 3-й, …k-й гармоникой.

Аналитическое выражение несинусоидальной периодической функции можно записать в виде:

, (142)

где f(ωt) – несинусоидальная периодическая величина, изменяющаяся с частотой ω; А₀ – постоянная составляющая несинусоидальной величины;

А₁, А₂, А₃,…А_k – амплитуды соответственно 1-й, 2-й, 3-й,…k-й гармоник, т.е. синусоидальных составляющих с частотой ω, 2ω, 3ω,…kω;

ψ₁, ψ₂,ψ₃,…ψ_k – начальные фазы соответственно 1-й, 2-й, 3-й,…k-й гармоники.

Данное выражение также может быть записано в виде:

. (143)

Пользуясь выражением синуса суммы двух углов, преобразуем выражение любой k-й гармоники так:

. (144)

Обозначив , получим .

Таким образом, ряд можно представить в виде суммы ряда синусов и ряда косинусов с нулевыми начальными фазами:

(145)

Если ряды синусоид и косинусоид с нулевыми начальными фазами необходимо заменить одним рядом синусоид с начальными фазами, отличными от нуля, то амплитуды синусоид определяются по формуле

, (146)

а начальные фазы через их тангенсы

. (147)

6.2. Виды периодических кривых

6.2.1. Кривые, симметричные относительно оси абсцисс

Периодическая кривая называется симметричной относительно оси абсцисс, если любым двум абсциссам, отличающимся на половину периода, соответствуют ординаты, равные по величине и обратные по знаку, т.е. если кривая удовлетворяет уравнению:

. (148)

Такие кривые обладают тем свойством, что отрицательная полуволна, сдвинутая на половину периода по оси абсцисс, представляет собой зеркальное изображение положительной полуволны относительно оси абсцисс (рис. 36).

Рисунок 36

Кривые, симметричные относительно оси абсцисс, не содержат постоянной составляющей и гармоник четного порядка:

(149)

или

. (150)

В электротехнике кривые, симметричные относительно оси абсцисс, встречаются часто, например кривые тока в катушке со стальным сердечником, подключенной к сети с синусоидальным напряжением.