2. Преобразуем треугольник сопротивлений r3, r4, r5 в эквивалентную звезду (рис.12).

Рисунок 12

Вычисляем величины сопротивлений эквивалентной звезды:

3. Токи в схеме (рис.12) рассчитаем методом узловых и контурных уравнений.

Алгоритм решения

1. Определяем количество узлов (q) и количество ветвей (р) в схеме

2) Определяем количество узловых (b) и контурных (к) уравнений

b = q – 1; к = р – b .

3) Произвольно задаемся направлением токов и направлением обхода контуров.

4) Составляем систему узловых и контурных уравнений

, где

- алгебраическая сумма токов в соответствующих узлах;

- падение напряжения в соответствующих ветвях схемы;

- суммарные ЭДС соответствующих контуров схемы.

В узловых уравнениях за положительное направление тока принимается направление от узла, за отрицательное – к узлу.

Знак «+» ставится перед падением напряжения, если направление тока в ветви совпадает с направлением обхода контура, и «–», если направление тока в ветви и направление обхода контура противоположны.

Если в контуре какая либо ветвь отсутствует, то падение напряжения в данной ветви принимается равным нулю.

Если направление ЭДС и направление обхода контура совпадают, то перед соответствующей ЭДС ставится знак «+», и знак «–», если они противоположны.

1. Решаем систему уравнений и находим токи в ветвях.

Решение

В схеме (рис.12) два узла (q = 2) и три ветви (р = 3), следовательно, составляем b = q – 1 = 2 – 1 = 1 узловое уравнение и к = р – b = 3 – 1 = 2 контурных уравнения.

Подставляем численные значения

Решаем систему уравнений и находим токи в ветвях.

4. Рассчитаем токи в схеме (рис.12) методом узлового напряжения.

Алгоритм решения

1. Рассчитываем проводимости ветвей цепи:

, где

- сопротивление N-ой ветви.

2. Находим узловое напряжение:

, где

Е – ЭДС в ветви.

3) Определяем токи в ветвях:

.

Решение

Проводимость ветвей

Узловое напряжение

Токи в ветвях

5. Переходим к исходной схеме (рис.11) и определяем токи .

Принимаем потенциал точки 0

Напряжение на сопротивлении

Напряжение на сопротивлении

Напряжение на сопротивлении

Токи в ветвях: ;

по первому закону Кирхгофа

Анализируя полученные результаты расчетов, можно сделать вывод, что они не зависят от метода расчетов.

Составляем баланс мощностей:

Баланс мощности сходится, следовательно, решение верное (в пределы допуска входит 3%).

Пример 2. Определить токи во всех участках сложной цепи (рис.13) методом наложения. Проверить правильность решения, составив баланс мощностей.

Дано: Е₁ = 120 В; Е₂ =240 В; R₀₁ = R₀₂ = 1 Ом; R₁ = 9 Ом; R₂ = 3 Ом; R =R₄ = 5 Ом.

Определить: I₁…I₄.

Рисунок 13

Алгоритм решения

1. Произвольно направляем токи в ветвях.

2. Приравниваем к нулю все источники ЭДС, кроме Е₁.

3. Определяем эквивалентное сопротивление полученной схемы R_Э1 относительно выводов источника.

4. Определяем частичные токи от источника ЭДС Е₁.

5. Аналогично определяем частичные токи и т. д. от каждого из оставшихся источников ЭДС.

6. Определяем токи в ветвях, как алгебраическую сумму частичных токов . Знак «+» ставится перед частичным током, если его направление совпадает с выбранным направлением тока в ветви, и знак «-», если их направления противоположны.

Решение

Составляем схему (рис.14) только с источником Е₁.

Рисунок 14

Определяем эквивалентное сопротивление

Определяем токи в ветвях

.

Токи в параллельных ветвях

Составляем схему (рис.15) только с источником ЭДС Е₂.

Рисунок 15

Определяем эквивалентное сопротивление

.

Определяем токи в ветвях

Токи в параллельных ветвях

Определяем токи в исходной схеме

Составляем баланс мощностей

Баланс мощностей выполняется.

2. Расчет электрических цепей переменного тока

с помощью векторных диаграмм

2.1. Расчет неразветвленной цепи переменного тока

с активным сопротивлением, индуктивностью, емкостью

Рисунок 16

При синусоидальном токе , напряжение в неразветвленной цепи с R, L и C (рис.16.а) состоит из трех слагаемых:

- активного напряжения , которое совпадает по фазе с током, действующее значение его равно ;

- индуктивного напряжения , которое опережает ток на 90^о, действующее значение его ;

- емкостного напряжения , которое отстает от тока на 90^о, действующее значение его .

Действующее напряжение цепи U равно геометрической сумме действующих значений напряжений, т. е.

. (61)

На этом основании строится векторная диаграмма (рис. 16.б).

Напряжение на зажимах цепи находится из прямоугольного треугольника

. (62)

Математическое выражение закона Ома для неразветвленной цепи с R, L и C

, (63)

где z - полное сопротивление неразветвленной цепи с R, L и C

, Ом; (64)

- реактивное сопротивление, Ом. (65)

Из треугольника напряжений можно получить треугольник сопротивлений, поделив каждую сторону на ток I (рис. 17.б).

Рисунок 17

Угол сдвига фаз между током и напряжением можно определить из треугольника сопротивлений через тангенс

, (66)

или

. (67)

Рисунок 18

При (рис. 17) угол положителен, т. е. напряжение опережает ток по фазе. При (рис. 18.а) угол равен нулю, напряжение и ток совпадают по фазе, в цепи имеет место резонанс напряжений. При (рис. 18.б) угол отрицателен, т. е. напряжение отстает от тока по фазе.

Из треугольника напряжений можно получить треугольник мощности, умножив каждую сторону на ток I (рис. 17.в). Произведение действующих значений тока и напряжения называется полной мощностью S

, В∙А (вольт-ампер).

Из треугольника мощности

,

где Р – активная мощность характеризует скорость необратимого процесса преобразования электрической энергии в какой-либо другой вид энергии

, Вт; (69)

Q – реактивная мощность, характеризует обмен энергии между цепью и источником (загружает источник и провода)

, ВАр. (70)

Кроме того, в цепи (рис. 16.а) происходит колебание мощности между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем катушки индуктивности L, так как мощности Q_L и Q_С изменяются в противофазе. Но эта мощность (1-2 на рис. 17.в) не считается реактивной, так как она не загружает источник и провода.