Универсальность математических моделей
Рассмотрим процессы колебаний в объектах различной природы. Покажем, что несмотря на разную сущность объектов, им соответствуют одни и те же математические модели.
1. Жидкость в u – образном сосуде.
Жидкость
занимает часть сосуда U
– образной формы, представляющего собой
изогнутую трубку радиуса
.
Масса жидкости
,
ее плотность
.
Стенки сосуда идеально гладкие,
поверхностным натяжением пренебрегается,
атмосферное давление
и
ускорение свободное падение
постоянны.
В состоянии равновесия жидкость, очевидно, покоится, ее высота в обоих коленах сосуда одинакова. Если ее вывести из равновесия, то начнется движение, характер которого установим с помощью закона сохранения энергии, поскольку в силу сделанных предположений ее потери в системе отсутствуют.
Потенциальную
энергии системы вычислим через работу,
которую необходимо совершить, чтобы
переместить ее из состояния равновесия
(где
)
в положение неравновесия.
Она равна
,
,
,
где
-
вес той части жидкости в левом колене,
уровень которой превышает величину
.
Работа сил атмосферного давления равна
нулю, так как для разных колен
соответствующие перемещения направлены
в разные стороны.
Неизвестные
величины
и
связаны
очевидным соотношением
,
выражающим постоянство полной длины
столба жидкости в сосуде с постоянным
сечением. Поставляя последнее равенство
в выражение для
,
получаем после интегрирования
.
При
вычислении кинетической энергии учтем
постоянство сечения трубки и несжимаемость
жидкости. Это означает, что столб жидкости
движется как целое, и ее скорость
одинакова
во всех сечениях. Примем за
величину
,
и тогда
,
а из закона сохранения энергии следует
.
Так
как
,
то продифференцировав это выражение,
получаем
,
что
с учетом такого же соотношения для
величины
,
дает уравнение
,
где
-
отклонение уровня жидкости от положения
равновесия. Оно с точностью до обозначений
совпадает с уравнением для системы
«шарик – пружина» (в данном случае
аналогом шарика служит столб жидкости,
а роль пружины играет тяготение).
Последовательный отказ от идеализации
объекта дает более полные его модели.
2. Колебательный электрический контур.
Это
устройство представляет собой конденсатор,
соединенный проводами с индуктивной
катушкой. В момент
цепь
замыкается, и заряд с обкладок конденсатора
начинает распространяется по цепи.
Сопротивление
проводов будем считать равным нулю,
емкость конденсатора равна
,
индуктивность катушки
.
Для изменяющейся со временем величины
,
где
-
заряд на обкладках конденсатора,
необходимо получить соответствующее
уравнение. Очевидно, что ток
и напряжение
также
являются функциями времени. По физическому
смыслу величины
в
любой момент времени имеет место
равенство
(емкость равна величине заряда, который
необходимо поместить на обкладки
конденсатора для увеличения разности
потенциалов между ними на единицу).
Так
как электрическое сопротивление в цепи
отсутствует, то падение напряжения на
проводах нет, и разность потенциалов
,
существующая на конденсаторе, подается
непосредственно на катушку. При переменном
токе в катушке возникает электродвижущая
сила самоиндукции, равная
.
Закон Ома в цепи в отсутствие сопротивления
выглядит следующим образом
,
или
.
Так
как по определению
(при изменении заряда на конденсаторе
в цепи возникает ток), то из последнего
соотношения получаем выражение
,
описывающее
процесс колебаний величины
(а, следовательно, и величин
и
)
в простейшем электрическом контуре. В
системе «емкость – индуктивность»
колебания происходят также, как и в
системе «шарик – пружина».