4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
Задачи
нелинейного программирования самого
различного физического смысла допускают
геометрическую интерпретацию. Рассмотрим
такую интерпретацию для наиболее
наглядного и простого случая двух
переменных,
,
-
плоскость.
Пример.
Найти
вектор
,
доставляющий минимум
|
|
(4.1) |
,при ограничениях
.
Строим
область допустимых решений
.
Для этого преобразуем ограничения.
Ограничение
будет иметь вид:
.
Тогда
ограничение
отсекает
на плоскости круг радиусом
.
Ограничение
будет
иметь вид:
.
Тогда
ограничение
отсекает на плоскости полуплоскость,
ограниченную уравнением
.
В
результате область допустимых решений
будет иметь вид, представленный на 4.1.
Строим
линии
уровня целевой функции
(4.1). Линией уровня называется множество
точек, с координатами
для которых целевая
функция
имеет постоянное значение, т.е.
.
Отсюда
.
Меняя
значения
,
получим различные линии уровня.
Если
.
Как
видно, линии
уровня целевой функции
(4.1) - это квадратичные параболы,
симметричные относительно
.
Положение каждой параболы зависит от
значения константы
(рис. 4.1). Исследуя полученные линии
уровня, получим, что минимальное
значение целевой функции
(4.1) находится на границе области
,
в точке с координатами
.
Рис. 4.1 (Локальный минимум в точке (0,-3).