Вариационные принципы и математические модели

Дадим упрощенную формулировку вариационного принципа Гамильтона для механической системы. На его основе выведем уравнения движения на пружине и маятника в поле сил тяжести. Сопоставим результаты получения моделей из фундаментальных законов и вариационного принципа.

1. Общая схема принципа Гамильтона.

Пусть имеется механическая система, формального или строгого определения которой пока давать не будем, имея в виду, что все взаимодействия между элементами такой системы определяются законами механики (один из простейших примеров, система «шарик – пружина»). Ведем понятие обобщенных координат , полностью определяющих положение механической системы в пространстве. Величина может быть декартовой координатой (например, координата в системе «шарик – пружина»), радиусом-вектором, угловой координатой, набором координат материальных точек, составляющих систему и т.д. Величину естественно называть обобщенной скоростью механической системы в момент времени . Набор величин и определяет состояние механической системы во все моменты времени.

Для описания механической системы вводится функция Лагранжа, которая, в простейших случаях, имеет явный смысл и записывается в следующем виде

, (1)

где и - кинетическая и потенциальная энергии соответственно.

Введем величину , называемой действием:

. (2)

Интеграл (2), очевидно, является функционалом от обобщенной координаты , т.е. функции , заданной на отрезке , он ставит в соответствие некоторое число (действие).

Принцип Гамильтона для механической системы гласит: если система движется по законам механики, то - стационарная функция для, или

. (3)

Фигурирующая в принципе наименьшего действия (3) функция - некоторая пробная функция, обращающаяся в ноль, в моменты и удовлетворяющая тому условию, что - возможная координата данной системы (в остальном произвольна).

Смысл принципа (3) в том, что из всех априори мыслимых (допускаемых) траекторий (движений) системы между моментами выбирается (реализуется) движение, доставляющее минимум функционалу действие (отсюда и происходит название принципа). Функция называется вариацией величины .

Итак, схема применения принципы Гамильтона (3) для построения моделей механических систем состоит в следующем: определяются обобщенные координаты и обобщенные скорости системы, строятся функция Лагранжа и функционал действия , минимизация которого на вариациях координаты и дает искомую модель.

2. Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».

Воспользуемся принципов Гамильтона для построения модели движения шарика, соединенного с пружиной. В качестве обобщенной координаты системы естественно выбрать обычную эйлерову координату шарика . Тогда обобщенная скорость - обычная скорость шарика. Функция Лагранжа (1), равная , записывается через значения кинетической и потенциальной энергии системы:

.

Для величины действия получаем выражение

.

Теперь в соответствии со схемой, вычислим действия на вариациях координаты:

.

Последнюю формулу необходимо продифференцировать по (учитывая, что функции от не зависят):

,

и положить в нее :

.

Правая часть этого выражения (равного нулю в согласии с принципом Гамильтона) с помощью интегрирования ее первого члена по частям и с учетом того, что в моменты , преобразуется к виду:

.

Поскольку пробная функция , фигурирующая в формулировке принципа наименьшего действия, произвольна, то часть выражения, стоящая под знаком интеграла в квадратных скобках, должна быть равна нулю во все моменты времени :

,

т.е. движение системы должно описываться уравнением, полученным из закона Ньютона (первый способ) и закона сохранения энергии (второй способ). Все три подхода эквивалентны.