- •Лекции по математическому моделированию
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
- •4. Движение шара, присоединенного к пружине
- •Вариационные принципы и математические модели
- •Общая схема принципа Гамильтона.
- •Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
- •3. Колебания маятника в поле сил тяжести
- •4. Заключение
- •Универсальность математических моделей
- •1. Жидкость в u – образном сосуде.
- •2. Колебательный электрический контур.
- •3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
- •4. Заключение.
- •Сохранение массы вещества
- •1. Поток частиц в трубе.
- •2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.
- •3. Баланс массы в элементе грунта.
- •4. Замыкание закона сохранения массы.
- •5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска.
- •6. Основные выводы.
- •Сохранение энергии
- •1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •3. Уравнение баланса тепла.
- •4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
- •5. Об особенностях моделей теплопередачи.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •3. Уравнения движения газа.
- •4. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.
- •2. Задача об остывании тела.
- •3. Падение тел у земной поверхности.
- •4. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •5. Формула Стокса.
- •6. Сила гидравлического сопротивления.
- •Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие математического программирования
- •2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие нелинейного программирования
- •2. Классификация методов нелинейного программирования
- •2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
- •4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
Теорема Куна-Таккера. Рассмотрим случай задачи с ограничениями-неравенствами:
(2.1) |
при ограничениях
, . |
(2.2) |
В точке минимума неравенства могут выполняться как равенства или строгие неравенства.
Ограничение называется активным в точке , если оно выполняется в ней как строгое равенство, то есть если .
Используя геометрические свойства допустимой области, найдем необходимые условия экстремума для задач минимизации с ограничениями. Для этого сначала рассмотрим случай, когда все линейны. Итак, пусть требуется найти при условии
, . (2.3)
Здесь каждое ограничение (2.3) определяет полупространство в . Допустимая область задана пересечением полупространств, определяемых неравенствами (2.3), и следовательно, является выпуклым многогранником. Вектор является нормалью к гиперплоскости, определяемой уравнением , и направлен внутрь области .
Пусть точка является точкой минимума задачи (2.1) с ограничениями (2.3). Обозначим множество индексов активных ограничений через
. |
(2.4) |
Например, на рис. 2.1 приведен пример минимизации с линейными ограничениями. Выберем любую допустимую точку из . Вектор направлен из внутрь области . Такой вектор будем называть входящим. Для этого вектора с учетом того, что , можно записать следующее условие:
,
или
, |
(2.5) |
для всех и .
Рис. 2.1.
Таким образом, входящий вектор определяет допустимое направление перемещения из точки . Но так как минимальна в точке , то при любом , удовлетворяющем (2.5), будем иметь:
, . |
(2.6) |
Применим теперь теорему, которая есть следствием леммы Фаркаша. Из условий (2.5), (2.6) на основании леммы Фаркаша следует, что существует множество неотрицательных скаляров , для которых
. |
(2.7) |
Если принять, что при (то есть для неактивных ограничений), (2.7) можно переписать в виде
. |
(2.8) |
Кроме того, получим, что
. |
(2.9) |
поскольку при , а при . Поэтому уравнения ограничений можно включить в целевую функцию следующим образом:
(2.10) |
Следовательно, удовлетворяет следующим условиям:
, |
(2.11) |
|
, , . |
(2.12) |
При рассмотрении задачи минимизации при условиях может случиться так, что не будет существовать таких , , для которых без дополнительных предположений о природе функций были бы справедливы уравнения (2.9), (2.10), где - оптимальное решение. Эти дополнительные предположения называют условиями регулярности ограничений. В частности, в рассмотренном случае, в качестве таких условий использовали линейную независимость векторов-градиентов ограничений , .
Теорема Куна-Таккера. Выше найдены условия оптимальности (2.9), (2.10) для задачи НП с линейными ограничениями. Обобщим эти условия на случай задачи (2.1), (2.2), когда все ограничения нелинейны.
Условия оптимальности решения задачи НП формулируются в следующей теореме, имеющей исключительно важное значение в теории нелинейного программирования.
Теорема 1.1. (Куна-Таккера). Пусть функции , , имеют непрерывные частные производные на некотором открытом множестве , содержащем точку . Если является точкой минимума функции при ограничениях , , удовлетворяющих условию регулярности в виде линейной независимости векторов , то существуют такие неотрицательные множители Лагранжа, что
, |
(2.13) |
|
, , . |
(2.14) |
Определим функцию Лагранжа следующим образом:
. |
(2.15) |
Тогда теорему Куна-Таккера можно записать в виде
, |
(2.16) |
|
, |
(2.17) |
. |
(2.18) |
Заметим, что множители Лагранжа в задаче НП с ограничениями-равенствами являются знаконеопределенными, тогда как в теореме Куна-Таккера они должны быть положительными.