- •Лекции по математическому моделированию
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
- •4. Движение шара, присоединенного к пружине
- •Вариационные принципы и математические модели
- •Общая схема принципа Гамильтона.
- •Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
- •3. Колебания маятника в поле сил тяжести
- •4. Заключение
- •Универсальность математических моделей
- •1. Жидкость в u – образном сосуде.
- •2. Колебательный электрический контур.
- •3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
- •4. Заключение.
- •Сохранение массы вещества
- •1. Поток частиц в трубе.
- •2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.
- •3. Баланс массы в элементе грунта.
- •4. Замыкание закона сохранения массы.
- •5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска.
- •6. Основные выводы.
- •Сохранение энергии
- •1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •3. Уравнение баланса тепла.
- •4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
- •5. Об особенностях моделей теплопередачи.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •3. Уравнения движения газа.
- •4. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.
- •2. Задача об остывании тела.
- •3. Падение тел у земной поверхности.
- •4. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •5. Формула Стокса.
- •6. Сила гидравлического сопротивления.
- •Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие математического программирования
- •2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие нелинейного программирования
- •2. Классификация методов нелинейного программирования
- •2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
- •4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
3. Уравнения движения газа.
Для их получения применим второй закон Ньютона к элементарной жидкой частице, имеющей в некоторый момент форму куба с гранями (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Жидкая частица – это перемещающаяся в пространстве и меняющий свою форму объем, содержащий в разные моменты времени одни и те же атомы и молекулы газа. Тем самым его масса постоянная. Для простоты вывода будем считать, что за короткое время куб не меняет своей формы и смещается по всем направлениям на расстояние, много меньшее его размеров.
Определим сначала силу, действующую на куб, например в направлении оси . Она, очевидно, равна разности давлений на левой и правой границах, умноженной на их площади (иных сил по предположению нет):
.
Сила равна ускорению жидкой частицы в направлении . Умноженному на его массу :
. (5)
Заменяя в правом выражении для разность давлений через производную от давления по и приравнивая его к (5), приходим к уравнению, описывающему движение газа вдоль оси :
. (6)
Точно также получаем уравнения движения по направлениям :
, (7)
, (8)
имеющие как и в (6), очевидный физический смысл. В векторной форме уравнения (6) – (8) имеют вид
. (9)
Поясним, что (6) – (9) через обозначена полная (субстанциональная, т.е связанная частицами газа) производная по времени какой-либо величины, характеризующей данную неизменную массу газа.
Раскрыв через частные производные по и в соответствии с правилом , придем к уравнениям движения Эйлера
. (10)
Будучи записаны покоординатно, они принимают вид
, (11)
, (12)
. (13)
В отличие от течения грунтовых вод, градиенты давления в уравнениях газа (6) – (13) определяют компоненты ускорения вещества, а не компоненты его скорости (сравнение с законом Дарси). Уравнения (4), (11) – (13) содержат пять неизвестных величин - . Для их замыкания естественно использовать закон сохранения энергии.
4. Уравнение энергии.
Для его получения используем ту же упрощенную схему, что и для уравнений движения газа: будем рассматривать изменение внутренней энергии фиксированной массы газа за короткий промежуток времени . Так как по сделанным допущениям в веществе отсутствует теплопроводность, вязкость и источники (стоки) энергии, то это изменение вызывается лишь работой сил давления на гранях куба при его сжатии или расширении. Работа давления, связанная с движением граней объема вдоль оси , очевидно, равна
,
где слагаемые в скобках можно, отбрасывая члены второго порядка малости, переписать через производную и получить
.
Здесь – среднее давление в элементарном объеме. Аналогично
,
.
Полная работа, совершенная над газом за время , есть
.
Она равна изменению внутренней энергии объема, т.е.
,
- удельная внутренняя энергия. Приравняв оба выражения для и устремив к нулю , окончательно получим
, (14)
где - полная (субстанциональная) производная внутренней энергии по времени. Заметим, что с помощью новых уравнений (14) приводится, подобно (4), к дивергентному виду
. (15)
Слева в (15) стоит производная от полной (внутренней и кинетической) энергии газа в данной точке пространства. Так как термодинамические свойства вещества предполагаются известными, то - известная функция уже введенных величин и , и уравнение (14) либо (15) дает недостающую связь для определения искомых газодинамических величин.
Лекция№8.