- •Лекции по математическому моделированию
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
- •4. Движение шара, присоединенного к пружине
- •Вариационные принципы и математические модели
- •Общая схема принципа Гамильтона.
- •Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
- •3. Колебания маятника в поле сил тяжести
- •4. Заключение
- •Универсальность математических моделей
- •1. Жидкость в u – образном сосуде.
- •2. Колебательный электрический контур.
- •3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
- •4. Заключение.
- •Сохранение массы вещества
- •1. Поток частиц в трубе.
- •2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.
- •3. Баланс массы в элементе грунта.
- •4. Замыкание закона сохранения массы.
- •5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска.
- •6. Основные выводы.
- •Сохранение энергии
- •1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •3. Уравнение баланса тепла.
- •4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
- •5. Об особенностях моделей теплопередачи.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •3. Уравнения движения газа.
- •4. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.
- •2. Задача об остывании тела.
- •3. Падение тел у земной поверхности.
- •4. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •5. Формула Стокса.
- •6. Сила гидравлического сопротивления.
- •Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие математического программирования
- •2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие нелинейного программирования
- •2. Классификация методов нелинейного программирования
- •2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
- •4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
3. Уравнение баланса тепла.
Применим закон сохранения энергии для математического описания процесса теплопередачи. Будем при этом считать, что внутренняя энергия вещества изменяется лишь благодаря механизму теплопроводности, т.е. другие виды энергии полагаем несущественными (например, пренебрегаем изменением внутренней энергии за счет химических реакций или за счет работы сил давления, сжимающих некоторый объем газа, и т.д.). Выделим в теплопроводной среде элементарный куб со сторонами (рис.3.1) и проведем подсчет изменения содержащейся в нем тепловой энергии за малый промежуток времени .
Рис. 3.1
По сделанным предположениям это изменение может быть вызвано лишь разностью потоков тепла, входящих и выходящих через разные грани куба. Так, потоки энергии вдоль оси приводят к уменьшению или увеличению внутренней энергии объема на величину
,
где – площадь грани, перпендикулярной оси . В этой формуле считается, что как функция времени не сильно изменяется за промежуток , и можно взять ее значение в момент . Точно таким же способом вычисляются изменения внутренней энергии по осям :
,
.
Суммарное изменение энергии есть
.
С другой стороны, величину можно выразить через изменение температуры объема и через его теплоемкость по формуле
,
в которой из-за малости объема берутся некоторые средние по нему значения температуры и плотности. Приравнивая два последних выражения друг к другу и устремляя к нулю, получаем общее уравнение, описывающее распространение тепла:
, (5)
имеющее в развернутой форме вид
, (6)
где .
Уравнение (6) нестационарное, трехмерное (функция зависит времени и трех пространственных переменных ) уравнение параболического типа. Оно неоднородное, т.е. теплоемкость, коэффициент теплопроводности и плотность могут быть, вообще говоря, разными в разных точках вещества, и нелинейное, поскольку функции и могут зависеть от температуры (т.е. искомого решения).
При дополнительных предположениях о характере процесса теплопередачи уравнение (6) может упрощаться. Так, если процесс стационарный, т.е. если температура не зависит от времени, то (6) превращается в уравнение эллиптического типа:
, (7)
а если функции не зависят от температуры, то (6) становится линейным параболическим уравнением, которое в случае однородной среды ( не зависят от ) принимает вид
, (8)
где величина называется коэффициентом температуропроводности. Для уравнения (8) относительно нетрудно выписать общее решение.
В одномерном случае (температура зависит лишь от и ) из (6) получаем
. (9)
Уравнение (9) сводится к уравнению типа нелинейной теплопроводности
, (10)
При допущении, что , . Наконец, если , , где - постоянные, то из (10) получается уравнение теплопроводности – простейшее уравнение параболического типа
. (11)
Как и случае уравнения Буссинеска, из основного уравнения (6) можно получить различные обобщения, соответствующие более сложным, чем рассмотренным выше, механизмам теплопередачи. Так, для неизотропной среды (т.е. когда коэффициенты теплопроводности разные по разным направлениям) с энерговыделением вместо (6) имеем
, (12)
где - коэффициенты в законе Фурье (3) по осям , а функция - мощность выделения (поглощения) энергии. Неизотропность, например, в случае электронной теплопроводности, может вызываться достаточно сильным магнитным полем, затрудняющим движение переносчиков тепла поперек силовых линий поля, а выделение энергии может связано с идущими в веществе химическими реакциями или протеканием электрического тока.
Вместе с заданными функциями и краевыми условиями полученные уравнения представляют собой замкнутые математические модели процесса теплопередачи.