- •Лекции по математическому моделированию
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
- •4. Движение шара, присоединенного к пружине
- •Вариационные принципы и математические модели
- •Общая схема принципа Гамильтона.
- •Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
- •3. Колебания маятника в поле сил тяжести
- •4. Заключение
- •Универсальность математических моделей
- •1. Жидкость в u – образном сосуде.
- •2. Колебательный электрический контур.
- •3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
- •4. Заключение.
- •Сохранение массы вещества
- •1. Поток частиц в трубе.
- •2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.
- •3. Баланс массы в элементе грунта.
- •4. Замыкание закона сохранения массы.
- •5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска.
- •6. Основные выводы.
- •Сохранение энергии
- •1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •3. Уравнение баланса тепла.
- •4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
- •5. Об особенностях моделей теплопередачи.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •3. Уравнения движения газа.
- •4. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.
- •2. Задача об остывании тела.
- •3. Падение тел у земной поверхности.
- •4. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •5. Формула Стокса.
- •6. Сила гидравлического сопротивления.
- •Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие математического программирования
- •2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие нелинейного программирования
- •2. Классификация методов нелинейного программирования
- •2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
- •4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
4. Движение шара, присоединенного к пружине
Пусть - координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости, и направление движение шарика совпадает с его осью. Тогда по второму закону динамики
,
где - масса шарика, - его ускорение. Будет считать плоскость идеально гладкой (то есть движение происходит без трения), пренебрежем также сопротивление воздуха и примем во внимание то, что вес шарика уравновешивается реакцией плоскости (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси , очевидно, сила упругости пружины. Определим ее, используя закон Гука, гласящий, что для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу
,
где коэффициент , характеризует упругие свойства пружины, а - величину ее растяжения или сжатия относительно нейтрального, ненагруженного положения .
Уравнение движения шарика принимает вид (уравнение элементарного осциллятора)
, . (5)
Данное уравнение описывает гармонические колебания шара и имеет общее решение
, (6)
где - собственная частота колебаний системы «пружина-шарик». Значения и легко определяются из начального состояния объекта, т.е. и ( - скорость шарика), причем при . Заметим, что уравнение (4) с точностью до обозначений совпадает с (5), поэтому, в пункте 3., речь шла также о процессе колебаний, но применительно к системе «Сатурн-кольцо».
Подходы, с помощью которых строятся модели, не должны противоречить фундаментальным законам природы. Соответствующая проверка непротиворечивости (если она возможна) весьма полезна для установления правильности моделей. Поясним это, используя для вывода уравнения (5) не закон Ньютона, а закон сохранения энергии. Поскольку точка крепления пружины неподвижна, то стенка не совершает работу над системой «пружина-шарик» (и наоборот), и ее полная механическая энергия остается постоянной. Вычислим ее. Кинетическая энергия определяется движением шарика (пружина считается невесомой):
.
Потенциальная энергия системы «содержится» в пружине, ее нетрудно найти, определив работу необходимую для растяжения (сжатия) пружины на величину :
.
Для неизменной со временем величины (интеграла энергии) получаем
.
Так как , то, продифференцировав интеграл энергии по , приходим к выражению
,
т.е. к уравнению (5), проверив тем самым правильность его получения. Подобную процедуру нетрудно провести и для других примеров.
5. Основные выводы.
-
Даже в простейших ситуациях для построения модели может потребоваться использование не одного, а нескольких фундаментальных законов.
-
Прямое формальное применение фундаментальных законов к объекту, рассматриваемому как целое, не всегда возможно. В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта (например, его геометрию).
-
Одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и, наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные).
-
Необходимо использовать все возможности для проверки правильности построения модели.
Лекция №3.