- •Лекции по математическому моделированию
- •Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели
- •Элементарные математические модели
- •Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы
- •4. Движение шара, присоединенного к пружине
- •Вариационные принципы и математические модели
- •Общая схема принципа Гамильтона.
- •Третий способ получения модели системы «шарик – пружина».
- •3. Колебания маятника в поле сил тяжести
- •4. Заключение
- •Универсальность математических моделей
- •1. Жидкость в u – образном сосуде.
- •2. Колебательный электрический контур.
- •3. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.
- •4. Заключение.
- •Сохранение массы вещества
- •1. Поток частиц в трубе.
- •2. Основные предположения о гравитационном режиме течения грунтовых вод.
- •3. Баланс массы в элементе грунта.
- •4. Замыкание закона сохранения массы.
- •5. О некоторых свойствах уравнения Буссинеска.
- •6. Основные выводы.
- •Сохранение энергии
- •1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
- •2. Вывод закона Фурье из молекулярно-кинетических представлений.
- •3. Уравнение баланса тепла.
- •4. Постановка типичных краевых условий для уравнения теплопроводности.
- •5. Об особенностях моделей теплопередачи.
- •Совместное применение нескольких фундаментальных законов
- •1. Предварительные понятия газовой динамики.
- •2. Уравнение неразрывности для сжимаемого газа.
- •3. Уравнения движения газа.
- •4. Уравнение энергии.
- •Фильтрация смеси нефти и воды в пористой среде
- •Математическая модель фильтрации
- •Модель переноса примеси при однокомпонентной фильтрации
- •Модель переноса примеси при многокомпонентной фильтрации
- •Математическое моделирование физических процессов
- •1. Изменение атмосферного давления с изменением расстояния от поверхности Земли.
- •2. Задача об остывании тела.
- •3. Падение тел у земной поверхности.
- •4. Режимы течения. Вязкость. Число Рейнольдса.
- •5. Формула Стокса.
- •6. Сила гидравлического сопротивления.
- •Математическое программирование. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие математического программирования
- •2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования
- •3. Геометрическая интерпретация задач линейного программирования
- •1. Понятие нелинейного программирования
- •2. Классификация методов нелинейного программирования
- •2.1. Задача нелинейного программирования при ограничениях – неравенствах
- •4. Геометрическая интерпретация задач нелинейного программирования
6. Основные выводы.
Итак, применение фундаментального закона сохранения массы позволило получить разнообразные модели рассматриваемых процессов. Различие между моделями определяется типов полученных уравнений (гиперболический, параболический, эллиптический), их пространственно-временными характеристиками (стационарное, нестационарное, одномерное, многомерное), наличием или отсутствием нелинейностей, а также постановкой краевых условий. Таким образом, в зависимости от конкретных свойств объекта и дополнительных предположений, основываясь на одном и том же фундаментальном законе, можно получить совершенно различные математические модели. С другой стороны, одни и те же математические модели могут, в силу своей универсальности, отвечать объектам совершенно разной природы.
Лекция №6.
Сохранение энергии
Закон сохранения энергии вместе с некоторыми дополнительными предположениями применим для построения моделей распространения тепла в сплошной среде. Сформулируем типичные краевые задачи для уравнений теплопередачи. Обсудим некоторые физические и математические свойства полученных моделей.
1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
Тепловая энергия или тепло – это энергия хаотичного движения атомов или молекул вещества. Обмен теплом между различными участками называется теплопередачей, а сами материалы, обладающие хорошо выраженным свойством теплопередачи, - теплопроводными. К ним относятся, например, металлы, в которых тепловая энергия переносится в основном свободными электронами, некоторыми газами и т.д. Процессы передачи тепла рассматриваются в условиях так называемого локального термодинамического равновесия (ЛТР). Понятие ЛТР для газов вводится при , т.е. когда длина свободного пробега частиц вещества много меньше характерных размеров рассматриваемого объекта (сплошная среда). ЛТР подразумевает также, что процессы изучаются при временах, больше чем (время между столкновениями частиц), и на размерах, больших, чем . Тогда в областях вещества, размеры которых превосходят величину (но много меньше величины ), устанавливается равновесие и для них можно ввести средние величины плотности, скорости теплового движения частиц и т.д.
Эти локальные величины (разные в разных точках среды) при сформулированных предположениях находятся из равновесного максвелловского распределения частиц. К ним относится температура , определяющая среднюю кинетическую энергию частиц:
,
где – масса частицы, - средняя скорость хаотичного движения, - постоянная Больцмана (в случае так называемого больцмановского газа).
Связанная с хаотичным движением частиц энергии вещества (внутренняя энергия) определяется через температуру с помощью величины удельной теплоемкости , а именно
, ,
где – плотность вещества (- число частиц в единице объема), - внутренняя энергия единицы массы. Другими словами, теплоемкость – это энергия, которую необходимо сообщить единице массы вещества, чтобы увеличить температуру на один градус.
Наиболее простое выражение для теплоемкости получается в случае идеального газа (газа, частицы которого взаимодействуют лишь при непосредственном взаимодействии столкновения и, подобно биллиардным шарам, без потери суммарной кинетической энергии). Если в некотором объеме идеального газа содержится частиц, то их полная внутренняя энергия есть
,
где - суммарная масса частиц, а удельная внутренняя энергия, или энергия на единицу массы, дается формулой
,
Т.е. теплоемкость идеального газа равна и не зависит от величин . В общем случае связь между внутренней энергией и температурой более сложная. Например, помимо кинетической энергии движущихся частиц, внутренняя энергия содержит составляющую, связанную с потенциальной энергией их взаимодействия, зависящей от среднего расстояния между ними. В свою очередь , где - число частиц в единице объема, т.е. зависит от плотности . Поэтому в теории теплопередачи величины (или, что то же самое, ) являются, вообще говоря, функциями от и . Их конкретный вид определяется свойствами рассматриваемой среды.