w(x) * 2 A sin 2 2 n x,

L

где А – коэффициент, определяемый из условия нормировки, A 2 / L . Тогда можно записать

Из данного выражения следует, что в отличие от свободного электрона вероятность нахождения электрона в потенциальной яме непостоянна и изменяется с изменением квантового числа n (рис. 2.2, б).

Вернемся к выражению (2.28) и запишем выражение для энергии электрона в яме.

E k 2 2 .

2m

Полученное выражение не отличается от записанного ранее (2.22) для свободного электрона. Однако, подставив в него k из (2.31), получим новое выражение

Полученное выражение содержит квантовое число n, т.е. спектр энергии электрона в потенциальной яме является не сплошным, как для свободного электрона, а дискретным.

2.5. Туннелирование микрочастиц сквозь потенциальный барьер

Эта задача возникла при исследовании радиоактивности. Выяснилось, что из ядер вылетают α-частицы, которые не имеют права на существование, т.к. их энергия меньше потенциального барьера ядра. Этому явлению Г. Гамовым было дано название туннельный эффект. В то время объяснить данный эффект не представлялось возможным. Это было сделано позднее, когда появился математический аппарат квантовой механики.

47

Пусть микрочастица падает на потенциальный барьер, двигаясь по оси x. Для простоты выбрана прямоугольная форма барьера (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Потенциальный барьер: а – произвольной формы; б – прямоугольная модель барьера

Запишем стационарное уравнение Шредингера (2.14).

d 2 k 2 0 . dx2

Напомним, что решение данного уравнения для различных областей будет иметь вид

В формулах (2.35), (2.36), (2.37) первое слагаемое описывает падающую волну, а второе – отраженную от правой или левой стенок барьера. Естественно, что второе слагаемое в (2.37) равно нулю. Необходимо обратить внимание на то, что значение k2 – мнимая величина. Это говорит о том, что существование микрочастицы внутри барьера запрещено.

Вероятность туннельного прохождения барьера называют прозрачностью D, которая будет определяться отношением

48

где D0 – коэффициент пропорциональности, по порядку величины близкий к единице.

В табл. 2.1 приводится величина D для барьеров, имеющих одинаковую высоту U0 – E = 5 эВ, но разные толщины.

Туннельный эффект играет большую роль в электронике. Он обуславливает протекание таких явлений, как пробой p-n–перехода (п. 7.4), прохождение тонких диэлектрических пленок (п. 9.3), автоэмиссия электронов. На основе эффекта работают туннельные диоды, ПДП структуры и т.д.

2.6. Квантовый гармонический осциллятор

Выше (п. 1.3) говорилось о тепловых колебаниях кристаллической решетки. Рассмотрим этот вопрос с привлечением понятий квантовой механики.

Линейным гармоническим осциллятором называют частицу, со-

вершающую линейные гармонические колебания около положения равновесия. При отклонении частицы от положения равновесия возникает возвращающая сила F, направленная к положению равновесия и пропорциональная x (рис. 2.4, а).

где f – постоянная возвращающей силы.

F

49

Рис. 2.4. Гармонический осциллятор: а – возвращающая сила; б – потенциальная энергия

Осциллятор совершает гармонические колебания с частотой ν.

Если в качестве осциллятора выступает микрочастица, нужно воспользоваться уравнением Шредингера, которое после подстановки в него (2.43) приобретает следующий вид:

Решение уравнения (2.44) осуществляют с помощью преобразований Эрмита. Опуская ход решения, запишем выражение для энергии квантового гармонического осциллятора

а при возрастании n энергия увеличивается (рис. 2.4, б) с шагом, равным

50