В данной главе приведены решения уравнения Шредингера для некоторых стационарных полей.

2.3. Свободный электрон. Фазовая и групповая скорости

Если считать частицу свободной и движущейся по оси x, то U(x) = 0, уравнение Шредингера (2.14) примет вид

где А и В – постоянные коэффициенты.

С учетом (2.17) общее решение уравнения Шредингера будет иметь вид

Последнее уравнение выражает суперпозицию двух плоских волн,

распространяющихся в противоположных направлениях. Для частицы, движущейся по оси x, B=0. Для частицы, движущейся в противоположном направлении, A=0.

Для трехмерного случая решением уравнения Шредингера будет являться выражение

где r – радиус-вектор точки фронта волны.

Энергия свободной частицы будет равняться

43

для трехмерного случая

где kx, ky, kz – проекции волнового вектора на оси координат. Выражения (2.22) и (2.23) показывают, что функция E(k) является

непрерывной, т.е. энергетический спектр свободного электрона сплошной (рис. 2.1, а).

Поскольку микрочастица связана с плоской волной, имеет смысл рассмотреть вопрос о ее фазовой и групповой скоростях (п. 1.3).

В уравнении плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, величина θ представляет собой фазу волны.

Напомним, что фазовая скорость υф – это скорость участка волны с постоянной фазой. Дифференцируя (2.24), с учетом постоянства фазы получим

Анализ последнего выражения показывает, что фазовая скорость волн де Бройля зависит от их длины, т.е. имеет место эффект дисперсии.

Как отмечалось выше, в реальном случае частица представляет собой не монохроматическую волну, а волновой пакет, образованный двумя или более волнами, имеющими близкие значения длин и волновых векторов. Скорость этого пакета, групповая скорость гр

Подставив в последнее выражение значение k = m/ћ и производной dω/dk = ħk/m, получим:

гр = .

44

Последнее выражение показывает, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

В заключение рассмотрим вероятность нахождения свободного электрона в пространстве. Подставим в (2.8) выражение для плоской волны и получим w = const (рис. 2.1, б).

w0

Рис. 2.1. Свободный электрон: а – энергетический спектр; б – вероятность нахождения

Это означает, что вероятность нахождения свободного электрона не зависит от координаты.

2.4. Электрон в потенциальной яме

Рассмотрим движение микрочастицы энергии E в прямоугольной потенциальной яме (рис. 2.2) глубиной U0 и шириной L.

Рис. 2.2. Частица в потенциальной яме: а – энергетическая диаграмма; б – вероятность нахождения частицы

Для электрона примером такой ямы является микроэлектрод: вне электрода энергия электрона равняется нулю, а внутри – U0. Эта энергия обеспечивается потенциальным полем решетки U0. Для выхода элек-

45

трона из металла необходимо совершить работу, равную U0 – работу выхода.

Запишем стационарное уравнение Шредингера для областей I, II и III (рис. 2.2, а).

k2 1 2mE .

Запишем общее решение уравнения Шредингера для трех зон.

Упростим задачу, считая, что U0∞. Тогда в областях I и III волновая функция будет равна нулю.

Согласно условию непрерывности функции можно записать, что

Поскольку стенки ямы имеют одинаковую высоту, очевидно, что в (2.29) A = B. Тогда можно записать выражение для волновой функции электрона в яме

В потенциальной яме укладывается целое число полуволн (рис. 2.2, б). Определим вероятность нахождения электрона в потенциальной яме ω(x).

46