Глава 8. Первообразная. Неопределенный интеграл

5

В дальнейшем все промежуточные выкладки, связанные с подстановкой

x = '(t); мы будем

оформлять следующим образом:

eaxdx =

ax = t )

x = t=a;

=

1

etdt =

et

+ C =

eax

+ C:

Z

dx = dt=a

a

Z

a

a

Z

Z

(??0)

udv = uv

vdu:

JИмеем (uv)0 = uv0 + u0v ) uv0 = (uv)0 u0v: Функция (uv)0

имеет первообразную на (a; b) è

(uv)0dx = uv + C: Функция u0v по условию теоремы также имеет первообразную, отсюда согласно

R

uv0

имеет первообразную и

Лемме ?? их разность, то есть

R

uv0dx =

(uv)0dx u0vdx = uv

u0vdx: I

R

R

R

uv0

к вычислению инте-

Замечание 8.5. Формула (??) сводит вопрос вычисления интеграла от

грала от u0v; который может оказаться проще исходного интеграла.

Пример 8.6.

Z

ln xdx =

= x ln x Z

dx = x ln x x + C:

dv = dx;

v = x

ln x = u;

du = dx=x

Теорема 8.4. Если Q(x) многочлен с вещественными коэффициентами, то для

Q справедливо

разложение

Q(x) = (x b1) 1 : : : (x bm) m (x2 + p1x + q1) 1 : : : (x2 + plx + ql) l ;

(8.3)

ãäå k; k; bk; pk; qk 2 R; pk2 4qk < 0:

Глава 8.

Первообразная. Неопределенный интеграл

7

1)

Z

x b = B ln jx bj + C:

Bdx

2)

Z

(x b) =

1(x b) +1 + C; 2:

Bdx

B

3)

2Nx + N

dx =

N

2

2

dx =

dx = dt;

=

Z

x + px + q

Z

(x + p=2) + q p =4

x + p=2 = t;

a = q p2=4

x + N

p

Mt + N

Mp=2

tdt

Mp

=

dt = M

+

N

:

Z

t2 + a2

t2 + a2

2 Z

t2 + a2

Z

Z

dt

t2 + a2 =

2 ln t2 + a2 + C = 2 ln x2 + px + q + C;

dt

1

1

Z

t2 + a2 = a Z

(t=a)2 + 1 = a arctg a + C = a arctg

a

+ C:

dt

1

d(t=a)

1

t

1

x + p=2

4)

Z

(x2 + px + q) dx = jt = x + p=2j = M Z

(t2 + a2)

+ N

2

Z

(t2 + a2) :

Mx + N

tdt

Mp

dt

Z

tdt

=

1

Z

d(t2 + a2)

=

1

1

+ C:

(t2 + a2)

2

(t2 + a2)

2( 1)

(t2 + a2) 1

Остается вычислить интеграл

I

= Z

(t2 + a2) :

dt

Имеем

I

=

1

Z

(a2 + t2 t2)dt =

1 I

1

1

Z

t2dt

=

a2

(t2 + a2)

a2

a2

(t2 + a2)

2 +

I 1;

=

dv = tdt= t2

+ a2)

;

= 12 I 1 +

2

1

2

t

2

1

u = t; du = dt;

1)(t2

+ a2) 1

a

2a (

1) (t

+ a )

2a (

1)

v = 1= 2(

откуда

I = 2a2( 1)

(t2 + a2) + (2 3)I 1:

(8.4)

1

t

Далее, I1 = 1=a arctg(t=a) + C: Òàê ÷òî, çíàÿ I1, по формуле (??) можно найти I2 è ò.ä... I

Замечание 8.7. Попутно мы получили рекуррентную формулу

(??) для вычисления интеграла

I .

Пример 8.8.

I = Z

2x2 + 2x + 13

dx:

(x 2)(x2 + 1)2

Используя разложение, полученное в Примере ??, имеем

+ 1dx:

I = Z

x 2 Z

(x2 + 1)2 dx Z

x2

dx

3x + 4

x + 2

I = ln jx 2j + ln x2 + 1

2x

2 arctg x + C:

(x2 + 1)2

Глава 8. Первообразная. Неопределенный интеграл

8

Pn(x; y) =

X

aijxiyj; Qm(x; y) =

0 iX

bijxiyj;

0

i+j n

+j m

причем i+j=n jaijj =6 0;

i+j=m jbijj =6 0:

Рассмотрим интеграл

I = Z R x;

s

!dx;

x +

m x +

Тогда

tm

x =

;

òàê ÷òî

tm

tm

tm

0

I =

R

; t

dt;

tm

Z

tm

Пример 8.9.

3 (x 1)(x + 1)2 :

I = Z

dx

Òàê êàê

p

I = Z

r3

x

1 x + 1dx;

x +

1 1

то подстановка

x + 1

= t3

"рационализирует"I:

x 1

t3 1:

I = 3 Z

dt

I = Z

t 1 + Z

t2 + t + 1dt;

dt

t + 2

R x; p

В этом пункте мы рассмотрим интеграл вида I =

ax2 + bx + c

dx; ãäå R(x; y) рациональ-

R

подын-

D

pax2 + bx + c

ная дробь с вещественными коэффициентами от 2 переменных,

a = 0 :

= ?:

Сразу заметим, что если D = b2 4ac = 0; òî ax2 + bx + c = a(x x0)2

6

6

, следовательно,

тегральная функция является рациональной дробью, поэтому

I выражается через элементарные

функции.