- •Первообразная. Неопределенный интеграл
- •Определение и основные свойства неопределенного интеграла
- •Первообразная
- •Интеграл!неопределенный
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Метод подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях
- •Интегрирование рациональных дробей с вещественными коэффициентами
- •Интегрирование квадратичных иррациональностей
- •Интегрирование дифференциального бинома
- •Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Определенный интеграл
- •Интегрируемость
- •Интегральные суммы
- •Геометрический смысл интегральных сумм
- •Интегрируемость
- •Суммы Дарбу
- •Определение
- •Основные свойства сумм Дарбу
- •Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
- •Критерий Дарбу интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Линейность и аддитивность
- •Оценки интегралов
- •Теоремы о среднем значении
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегрирование по частям и формула Тейлора
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Критерий Лебега интегрируемости функции
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Длина дуги кривой
- •Понятие кривой
- •Длина дуги кривой. Спрямляемые кривые
- •Площадь плоской фигуры
- •Определение площади
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Объем тела в пространстве
- •Кубируемость
- •Объем тела вращения
- •Работа силы вдоль кривой
- •Функции многих переменных
- •Функция многих переменных. Ее предел
- •Предел функции многих переменных
- •Повторные пределы
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Понятие непрерывности
- •Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Дифференциал
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению. Градиент
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции многих переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Случай двух переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Неявные функции
- •Существование и дифференцируемость неявной функции
- •Понятие о неявной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция многих переменных
- •Неявные функции, заданные системой уравнений
- •Теорема об однозначной разрешимости системы уравнений
- •Взаимно - однозначное отображение в Rn
- •Условный экстремум
- •Постановка вопроса
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия
- •Пример
Глава 8. Первообразная. Неопределенный интеграл |
4 |
8.1.4Таблица основных неопределенных интегралов
Из определения неопределенного интеграла и таблицы производных для элементарных функций получаем следующую таблицу:
Zx +1
1)x dx = + 1 + C; 6= 1;
2) |
Z |
|
x = ln jxj + C; |
|||
|
|
dx |
||||
|
Z |
|
|
|
ax |
|
|
axdx = |
|||||
3) |
|
+ C; a > 0; a 6= 1; |
||||
ln a |
Z
4)sin xdx = cos x + C;
5)cos xdx = sin x + C;
6)
dx
cos2 x
7)
dx
sin2 x
8) p dx = arcsin x + C = arccos x + C1; 1 x2
Zdx
9)1 + x2 = arctg x + C = arcctg x + C1;
|
Z |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10) |
p |
= ln jx + px2 1j + C; |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
x2 1 |
|
|||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
+ x |
|
|
|
|||||
11) |
dx |
= |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
+ C; |
||||||
1 x2 |
2 |
1 |
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z
12)sh xdx = ch x + C;
13)ch xdx = sh x + C:
Замечание ??).
8.2Основные методы интегрирования
8.2.1Метод подстановки
Теорема 8.2. Пусть функция f определена на (a; b) и имеет первообразную F . Далее пусть функция '(t) определена, дифференцируема на интервале (c; d) и '(t) 2 (a; b) 8t 2 (c; d): Тогда функция g(t) f('(t)) '0(t) на интервале (c; d) имеет первообразную, равную F ('(t)); то есть
Z
f('(t))'0(t)dt = F ('(t)) + C; t 2 (c; d):
JДействительно, так как F 0(x) = f(x); òî
|
|
|
|
|
|
d |
|
(F ('(t))) = f('(t))'0(t): I |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 8.5. |
eatdt; a = const 6= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Имеем '(t)R= at; f(x) = ex |
= |
|
|
F (x) = x; |
'0 |
|
следовательно, |
R e |
at |
|
at |
|||
R |
eatdt = |
eat |
+ C: |
) |
|
|
(t) = a; |
|
|
adt = e |
+ C =) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|