- •Первообразная. Неопределенный интеграл
- •Определение и основные свойства неопределенного интеграла
- •Первообразная
- •Интеграл!неопределенный
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Таблица основных неопределенных интегралов
- •Основные методы интегрирования
- •Метод подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях
- •Интегрирование рациональных дробей с вещественными коэффициентами
- •Интегрирование квадратичных иррациональностей
- •Интегрирование дифференциального бинома
- •Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
- •Определенный интеграл
- •Интегрируемость
- •Интегральные суммы
- •Геометрический смысл интегральных сумм
- •Интегрируемость
- •Суммы Дарбу
- •Определение
- •Основные свойства сумм Дарбу
- •Критерий интегрируемости. Классы интегрируемых функций.
- •Критерий Дарбу интегрируемости
- •Классы интегрируемых функций
- •Свойства определенного интеграла
- •Линейность и аддитивность
- •Оценки интегралов
- •Теоремы о среднем значении
- •Интеграл с переменным верхним пределом
- •Интегрирование по частям и формула Тейлора
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Критерий Лебега интегрируемости функции
- •Геометрические приложения определенного интеграла
- •Длина дуги кривой
- •Понятие кривой
- •Длина дуги кривой. Спрямляемые кривые
- •Площадь плоской фигуры
- •Определение площади
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Объем тела в пространстве
- •Кубируемость
- •Объем тела вращения
- •Работа силы вдоль кривой
- •Функции многих переменных
- •Функция многих переменных. Ее предел
- •Предел функции многих переменных
- •Повторные пределы
- •Непрерывность функции многих переменных
- •Понятие непрерывности
- •Основные свойства непрерывных функций
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Частные производные
- •Дифференцируемость функции многих переменных
- •Дифференциал
- •Достаточное условие дифференцируемости
- •Дифференцируемость сложной функции
- •Инвариантность формы первого дифференциала
- •Производная по направлению. Градиент
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции многих переменных
- •Необходимое условие экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Случай двух переменных
- •Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Неявные функции
- •Существование и дифференцируемость неявной функции
- •Понятие о неявной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция многих переменных
- •Неявные функции, заданные системой уравнений
- •Теорема об однозначной разрешимости системы уравнений
- •Взаимно - однозначное отображение в Rn
- •Условный экстремум
- •Постановка вопроса
- •Метод неопределенных множителей Лагранжа
- •Достаточные условия
- •Пример
Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
28 |
10.2.3Площадь криволинейного сектора
Пусть функция r(') непрерывна и неотрицательна на отрезке [ ; ] [0; 2 ]: Тогда вектор функция r(') = (r(') cos '; r(') sin ') непрерывна на [ ; ], поэтому служит параметризацией некоторой кривой .
Определение 10.14. Уравнение
|
= |
|
('); ' 2 [ ; ]; |
(10.15) |
r |
r |
называется уравнением кривой в полярной системе координат.
Определение 10.15. Криволинейным сектором F называется фигура, ограниченная кривой, заданной уравнением (??) и двумя лучами ' = ; ' = :
Теорема 10.3. Криволинейный сектор квадрируем и его площадь равна
|
|
|
|
|
(F ) = 2 |
|
r2(')d': |
|
|
|
(10.16) |
|||
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
1) Квадрируемость. Пусть |
f'kg |
разбиение [ ; |
|
inf |
= |
|
sup r('): |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
]; rk = |
['k 1;'k] r('); Rk |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
['k 1;'k] |
||||
Для каждого k = 1; : : : ; n построим секторы P |
k |
è Q |
k |
, ограниченные лучами ' = 'k |
|
1; ' = 'k è |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
S |
|
|
окружностями r = rk; r = Rk соответственно. Далее положим P = Pk; Q = |
|
Qk: Каждый |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
сектор Pk è Qk квадрируем (см. Пример ??), поэтому фигуры P и Q, как объединение конечного числа квадрируемых фигур (см. п.3 Упр. ??), квадрируемы, причем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P F Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.17) |
|||||||
è (P ) |
= |
|
|
n |
|
(Pk) |
= |
1 |
n |
rk2 'k; |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
Rk2 'k, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(Q) |
= |
(Qk) |
= |
|
|
|
|
òî |
åñòü (P ) = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
P); |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна, |
òî |
интегрируе- |
||||||||||||
s( |
|
|
r ('); |
|
' |
|
(Q) |
= |
S(Pr ('); |
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
f |
|
f |
kg |
): Òàê êàêPфункция r(')P |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ма, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8" > 09 = (") > 0 : d(fxkg) < ) S s < |
: |
|
|
|
(10.18) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Далее, из квадрируемости P è Q следует, что 9P 0; Q0 2 M : P 0 |
P; Q0 Q è |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < m(Q0) (Q) < |
|
; |
|
|
0 < (P ) m(P 0) < |
|
|
: |
|
|
|
(10.19) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Тогда из соотношений (??),(??) è (??) будем иметь P 0 |
F |
|
Q è m(Q0) |
|
m(P 0) |
= (m(Q0) |
è |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 0 F Q0 |
|
||||
(Q)) + ( (Q) (P )) + ( (P ) m(P )) < ": Таким образом, 8" > 0 9P 0; Q0 2 M : |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m(Q0) m(P 0) < ": Отсюда (F ) (F ) ": ) (F ) (F ) = 0 ) |
|
|
|
F квадрируем. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) Доказательство формулы ( ??). По доказанному, |
s(f'kg) (F ) S(f'kg): Отсюда, по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
скольку s(f'kg) |
|
r2(')d' S(f'kg); òî (F ) |
|
r2(')d' |
S(f'kg) s(f'kg) < "; åñëè |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d( ' |
k |
|
|
) < ("): |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
, следуетR (??). |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
f |
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, в силу произвольности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Пример 10.3. Пусть F внутренность трилистника r = a cos 3': |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Имеем (F ) = 6 (F0); ãäå F0 часть F , лежащая в секторе 0 ' =6: Так что (F ) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 2 |
|
=6 |
|
|
2 |
|
|
3 2 |
=6 |
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
a |
|
|
R |
cos |
|
3'd' = |
|
a |
R |
(1 + cos 6')d' = |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
0 |
|
2 |
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.3Объем тела в пространстве
10.3.1Кубируемость
Определение 10.16. Телом называется любое ограниченное множество T в R3:
Определение 10.17. Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат. Параллелепипедом будем называть множество вида = ab = f(x; y; z); a1 x b1; a2
y b2; a3 z b3g. Число m( ab) = (b1 a1)(b2 a2)(b3 a3) будем называть объемом параллелепипеда ab.
Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
29 |
Определение 10.18. Тело P называется простым, если оно состоит из конечного числа параллелепипедов (возможно, вырожденных), не имеющих общих внутренних точек:
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
[ |
\ |
|
||
|
|
|
j = ?; i 6= j: |
|
||
|
|
P = k; i |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
P |
При таком представлении объемом P будем называть число m(P ) = m( k): |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
Множество простых тел будем обозначать M. |
|
|
||||
|
|
|
Свойства m(P ): |
|
||
1. |
m(P ) 0 8P 2 M: |
|
|
|
|
|
2. |
Åñëè P1; P2 2 M è P1 P2, òî m(P1) m(P2): |
SP2) = m(P1) + m(P2): |
||||
3. |
Åñëè P1; P2 2 M, òî P1 |
SP2 2 M. Åñëè P1 |
TP2 = ?; òî m(P1 |
Упражнение 10.3. Доказать свойства 1 3.
Определение 10.19. Простое тело P называется вписанным в тело T , если P T и описанным около T , если T P:
Пусть T тело, P и Q соответственно вписанное в T и описанное около T простые тела. Тогда согласно свойству 2 m(P ) m(Q): Следовательно, множество объемов простых тел, вписанных в T (соответственно описанных около T ), ограничено сверху (соответственно снизу).
Определение 10.20. Числа
= (F ) = sup m(P ); = (F ) = |
inf m(Q) |
M3P F |
F Q2M |
называются соответственно нижним и верхним объемом тела T .
Определение 10.21. Тело T называется кубируемым, если (T ) = (T ): При этом число(T ) = (T ) = (T ) называется объемом тела T:
Упражнение 10.4. Показать, что (T ) обладает теми же свойствами, что и m(P ) :
1.(T ) 0:
2.Åñëè T1 T2, òî (T1) (T2):
T S
3.Åñëè T1; T2 кубируемы, то их объединение кубируемо. Если T1 T2 = ?; òî (T1 T2) =
(T1) + (T2):
10.3.2Объем тела вращения
Пусть T тело, полученное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции F = f(x; y) : x 2 [a; b]; 0 y f(x)g: В частном случае, когда f(x) = r = const > 0; тело вращения есть цилиндр с радиусом основания r и высотой h = b a. Обозначим его C.
Лемма 10.2. Цилиндр C кубируем и |
|
(C) = r2h: |
(10.20) |
JПусть K основание цилиндра круг радиуса r. Круг квадрируем (как объединение двух криволинейных трапеций), следовательно, для любого " > 0 существуют простые фигуры p; q такие, что p K q и 0 S(p) S(q) < "=h; где S(F ) означает площадь (по Жордану) плоской фигуры
F:
Пусть P è Q прямоугольные призмы с основаниями p è q и высоты h. Тогда P C Q è
m(Q) |
|
m(P ) = h(S(q) |
|
S(p)) < ": |
) |
(C) |
|
|
(C) < " |
) |
(C) = |
(C) |
) |
C кубируем. |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
Далее, так как S(p) < S(K) < S(q); то m(P ) < r |
h < m(Q). С другой стороны, m(P ) < (C) < |
m(Q), следовательно, j (C) r2hj < " ) (??): I
Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
30 |
|
Теорема 10.4. Тело вращения кубируемо и |
|
|
(T ) = Za |
b |
|
f2(x)dx: |
(10.21) |
J1) Кубируемость. Пусть fxkg разбиение [a; b]; mk; Mk нижняя и верхняя грани f íà [xk 1; xk]: Для каждого отрезка [xk 1; xk] построим цилиндры Ck è ck с радиусами Mk è mk ñî-
nn
SS
отвeтственно и обозначим C = Ck; c = ck: Тогда
11
|
|
c T C: |
|
|
|
|
|
|
(10.22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из Леммы ?? следует, что c è C кубируемы и (c) = mk2 xk; (C) = |
Mk2 |
xk; òî åñòü (c) = |
||||||||||
s( f ; fxkg); |
(C) = S( f ; fxkg): Òàê êàê f |
|
|
P |
|
|
|
|
|
P |
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
непрерывна, то она интегрируема, следовательно, |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
8" > 09 = (") > 0 : d(fxkg) < ) S s < |
" |
|
: |
|
(10.23) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|||||||||
Далее, из кубируемости c è C следует, что 9P; Q 2 M : P c; C Q è |
|
|
|
|||||||||
|
0 < m(Q) (C) < |
" |
; 0 < (c) m(P ) < |
" |
: |
|
|
(10.24) |
||||
|
|
3 |
3 |
|
|
Тогда из соотношений (??) и (??) будем иметь m(Q) m(P ) = (m(Q) (C)) + ( (C) (c)) + ( (c) m(P )) < ": Таким образом, 8" > 0 9P; Q 2 M : P T Q и m(Q) m(P ) < ": Отсюда
(T ) (T ) ": ) (T ) (T ) = 0 ) T кубируемо.
|
2) Докажем (??). Из (??) имеем s(fxkg) (T ) S(fxkg): Отсюда, поскольку s(fxkg) |
|||||||
|
|
|
(T ) ab f2(x)dx |
< "; откуда и следует |
||||
ab f2(x)dx S(fxkg), òî ïðè d(fxkg) < (") будем иметь |
||||||||
|
??). |
|
|
|
|
|
|
|
( |
R |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
I |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Пусть T |
- тело вращения фигуры F = f(x; y) : |
f(x) y g(x); x 2 [a; b]; g ãäå |
||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
f; g непрерывны на [a; b]. Тогда (T ) = (g2(x) f2(x))dx: |
|
|
R
a
Пример 10.4. Пусть T шар радиуса r.
p Так как шар есть тело вращения криволинейной трапеции F , соответствующей функции f(x) = r2 x2; x 2 [ r; r]; то по формуле (??)
r
Z
(t) = (r2 x2)dx = 43 r3:
r
10.3.3 Работа силы вдоль кривой
A) Натуральная параметризация кривой
Пусть некоторая плоская непрерывно дифференцируемая кривая с параметризацией ( ??). Обозначим через s(t) длину дуги кривой от ее начала до точки r(t): Тогда по Теореме ??
t
Z
p
s(t) = '02( ) + 02( )d :
a
Определение 10.22. Точка r(t0) кривой называется особой, если r0(t0) = 0: Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой кривой.
Лемма 10.3. Если гладкая кривая, то для нее существует параметрическое представление= (s), где параметром s служит длина дуги кривой.
JПо условию не имеет особых точек, следовательно, s0(t) = p'02(t) + 02(t) > 0 на [a; b], значит, s(t) возрастает на [a; b], поэтому существует обратная функция t = t(s); которая возрастает и непрерывно дифференцируема на [0; j j]: Тогда вектор функция (s) = r(t(s)) является другой параметризацией кривой .I
Определение 10.23. Параметризация = (s) называется натуральной и параметр s называется натуральным параметром.
Глава 10. Геометрические приложения определенного интеграла |
31 |
B) Работа
Пусть материальная точка M движется вдоль гладкой кривой : r = r(s). Далее пусть на точку M в положении r(s) действует сила F (s); направленная вдоль касательной к :
Возьмем произвольное |
разбиение |
fskg |
отрезка |
[0; j j] |
, набор промежуточных точек |
f kg |
и соста- |
||
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
вим интегральную сумму = |
F ( k) sk: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Определение 10.24. Если существует конечный предел A = |
lim ; то этот предел назы- |
||||||||
вается работой силы F вдоль кривой . |
|
|
|
d(fskg)!0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
j j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
Из определения следует, что если функция F (s) непрерывна на , то A = F (s)ds: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
F (s(t))s0(t)dt: |
|
|
Замечание 10.6. Если t произвольный параметр, то A = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
a