Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

892.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 11

Функции многих переменных

11.1Пространство Rn и важнейшие классы его подмножеств

11.1.1Пространство Rn

Определение 11.1. Пусть M некоторое множество. Расстоянием (или метрикой) в M называется любая функция : M2 ! [0; 1), удовлетворяющая следующим условиям:

1. (x; y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;

2.8x; y 2 M (x; y) = (y; x);

3.8x; y; z 2 M (x; y) (x; z) + (z; y):

Множество M с введенным в нем расстоянием называется метрическим пространством.

Определение 11.2. Множество An = f(x1; : : : ; xn) : xi 2 R; i = 1; : : : ; ng называется n - мер-

ным координатным множеством. Элементы этого множества x = (x1; : : : ; xn) называются

точками An; а числа xi i-й координатой точки x.

Пусть x; y 2 An: Поставим этой паре в соответствие число

(x; y) = v

(xi

yi)2:

(11.1)

Лемма 11.1. Функция :

! [0;

1); определяемая по (??), является метрикой в A

JСвойства 1, 2 очевидны. Докажем 3, то есть

+ v

(xi

yi)2

(xi

zi)2

(zi

yi)2;

xi; yi; zi

(11.2)

u 1

Сначала докажем неравенство Коши Буняковского:

u n u n

X X X

	aibi			t	ai2	t	bi2	; ai; bi 2 R:	(11.3)
				t		t

1 1 1

Действительно, поскольку при всех x 2 R справедливо неравенство

(ai + xbi)2 =

ai2

aibi x +

bi2

0; òî

aibi

ai2

bi2

0; откуда и следует (??).

Тогда

(ai + bi)2 =

ai2 + 2 aibi + bi2 ( )

ai2 + 2v

ai2

bi2 + bi2

ai2

+ v

bi21

u 1

)

Глава 11. Функции многих переменных

+ v

(11.4)

(ai

+ bi)2

ai2

bi2:

Полагая в (??) ai = xi

zi; bi = zi

n c введенной в нем метрикой (??) является метрическим

yi; получим (??). I

Из Леммы ?? следует, что множество A

пространством.

Определение 11.3. Пара (An; ) называется метрическим пространством

Rn:

Замечание 11.1. На множестве An

можно задать и другие метрики: 1(x; y)

jxi

;

2(x; y) = max

: При этом мы получим разные метрические пространства

nP;

i j

Упражнение 11.1. Доказать, что 1 è 2 метрики в An:

нормой элемента x:

x = (x1; : : : ; xn) 2 A

;

то число kxk := p

называется

x1 + + xn

Определение 11.4. Если

Òàê êàê kxk = (x; 0); то согласно Лемме ?? k k обладает следующими свойствами:

1.kxk = 0 () x = 0;

2.8 2 R; 8 x 2 Rn k xk = j jkxk;

3.8 x; y 2 Rn kx + yk kxk + kyk:

11.1.2Открытые и замкнутые множества в Rn

Определение 11.5. Множество			B(a; r) = fx 2 R	n	: (x; a) < rg	называется открытым шаром
â R	n
		радиуса r с центром в точке a.

Определение 11.6. Множество G Rn называется открытым в Rn, åñëè 8x 2 G 9B(x; r)

Пример 11.1. Rn; ?; B(a; r); b(1; r) fx 2 Rn : (x; 0) > rg открыты в Rn:

Упражнение 11.2. Доказать, что пересечение конечного числа и объединение любого числа открытых множеств открыто.

Определение 11.7. Множество F Rn называется замкнутым, если Rn n F открыто в Rn:

Упражнение 11.3. Доказать, что		m		m
m	m		Ai =		(Rn n Ai) 8m 1;
a) Rn n 1 Ai =	1 (Rn n Ai) ; Rn n	1		1
S	T	T		S

b) Пересечение любого числа и объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Пример 11.2. Следующие множества замкнуты в Rn:

a)	R	n	:	(x; a) rg замкнутый шар с центром в точке a и радиуса
B(a; r) = fx 2
r;				(x; a) = rg сфера с центром в точке a и радиуса r.
b) S(a; r) = fx 2 Rn :

Определение 11.8. Окрестностью точки x 2 Rn называется любое открытое множество, содержащее эту точку. Шар B(x; ) называется -окрестностью точки x: Окрестность будем обозначать O(x):

Множество O(x) = O(x) n fxg называется проколотой окрестностью.

Точка x называется внутренней для

O(x) M

множества

, если существует

, âíåø-

ней для M, если x внутренняя для R

n M и граничной для M, если x ни внутренняя,

ни внешняя для M: Множество граничных точек для M называется границей множества M и

обозначается @M.

Например, S(a; r) = @(B(a; r)) = @(B(a; r)):

Определение 11.9. Точка x 2 R

называется

предельной для M

, åñëè

8O(x) :

называется объединение M

O(x) M 6= ?:

и множе-

Определение 11.10. Замыканием множества

ства всех предельных точек M. Обозначение: M:

Тогда K B(a; ) = ?

Глава 11. Функции многих переменных

Пример 11.3. (B(a; r)) = B(a; r):

Лемма 11.2. Множество M замкнуто тогда и только тогда, когда M = M; то есть M содер-

жит все свои предельные точки.

JНеобходимость.

Допустим, что у

x0 2 R

n M. Íî M

M существует

предельная точка

замкнуто,

следовательно,

n M

открыто, значит 9O(x0) R

n M ) O(x0)

M = ?; что проти-

предельная точка для

воречит с тем, что x0 Пусть

Достаточность.

n M не открыто, тогда 9x0 2

n M :

8O(x0) M = ? ) x0

предельная точка M. Таким образом,

имеет предельную точку, не принадлежащую

противоречие. I

11.1.3Компакты в Rn

Определение 11.11. Множество K 2 Rn называется компактом, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Пример 11.4. I = fx 2 Rn : ai xi bi; i = 1; : : : ; ng n-мерный параллелепипед (или брус, промежуток).

Лемма 11.3. I компакт в Rn:

N	Пусть из некоторого покрытия			S I	2
		I = [ai; bi]
J				G( ) нельзя выделить конечное подпокрытие.
		i			разделится на n параллелепипедов, из которых хотя
Разделим			пополам. Тогда

бы один не допускает конечного покрытия открытыми множествами G( ): Обозначим его I2 è, снова так же разделив на 2n частей, найдем среди них I3; не допускающий конечного покрытия.

Продолжая этот процесс, мы

I = I1

построим последовательность вложенных параллелепипедов

I2k

kI3 : : : : Пусть Ik = fx 2 R

: ai xi

bi g: Тогда при каждом i

= 1; : : : ; n отрезки

[ai

; bi ] образуют стягивающуюся систему отрезков. Следовательно, по Лемме Кантора о вложенных

отрезках 9! i 2 [aik; bik] 8k = 1; 2; : : : : Значит, точка = ( 1; : : : ; n) 2 Ik 8k = 1; 2; : : : :

Òàê êàê I G( ); òî 9 0 :

2 G( 0) ) 9B( ; ) G( 0): Пусть K

такое натуральное

число, что

2 Ik 8k è diam1(Ik)

(bi ai)2

: Тогда, поскольку

(bi ai)2

; òî ïðè

любом

допускает конечное покрытие

k K Ik G( 0);

следовательно,

противоречие.

Определение 11.12. Множество M называется ограниченным в Rn, если оно содержится в некотором шаре.

Пример 11.5. Доказать, что M ограничено тогда и только тогда, когда M содержится в некотором параллелепипеде.

Теорема 11.1 (Гейне Борель Лебег) . Множество K из Rn компакт тогда и только тогда, когда K ограничено и замкнуто.

JНеобходимость.

êàê Rn

a) Ограниченность. Рассмотрим

B(0; k); k

1; 2; : : : : Òàê

B(0; k); òî

Пусть

Тогда

конечное подпокрытие

B(0; k) ) 9

fB(0; ki;

= 1; 2; : : : ; m:g

= maxi ki:

B(0; n):

b) Замкнутость.

Пусть

x 2 Kg

K ) 9

fG(x) B(x; (

a предельная точка K и a 2= K: Тогда 8x 2 K (x; a) > 0; следователь-

íî,

x; a)=2);

открытое покрытие компакта

конечное подпокрытие

fG(xi)g1m; причем G(xi) B(a; (a; xi)=2) = ? )	m	G(xi)	B(a; ) = ?;
	1
T	S		T

ãäå = min (a; xi)=2:

противоречие с тем, что a предельная точка K.

Достаточность. Пусть fG( )g открытое покрытие K. Положим G = Rn n K: Тогда

SG( )

SG = Rn: Далее, так как K ограничено, то его можно заключить в некоторый па-

раллелепипед I. Согласно Лемме ?? I компакт, поэтому из его открытого покрытия семейством fG( )g; дополненным открытым множеством G, можно выделить конечное подпокрытие

1По определению diam(M) = sup (x; y)

x;y2M

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2313 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.201541.47 Кб15мастер класс создание плакатов..doc
#
10.11.2019250.29 Кб6мат статистика.docx
#
16.09.2019303.1 Кб9матан экз.doc
#
18.03.2016374.13 Кб14матан.docx
#
23.09.20191.1 Mб15матан.docx
#
17.05.2015892.53 Кб21матан2.pdf
#
28.10.2018119.3 Кб1матвеев.doc
#
07.09.2019171.82 Кб2матем ответы.docx
#
12.11.2019367.62 Кб3математика 10-11кл.doc
#
17.05.201521.26 Кб15математика 4 класс для вк.docx
#
17.05.2015900.61 Кб49Математика 9 класс 3 варианта.doc