Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
матан2.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
17.05.2015
Размер:
892.53 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава 11. Функции многих переменных

 

 

 

 

 

 

 

47

 

@

 

@

 

m

@

 

m k

 

@

 

 

 

@xdx +

@y dy

= k=0 Cmk

@xdx

 

 

@y dy

:

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому формулу (??) символически записывают так:

dmu =

@xdx +

@y dy

m

u:

 

 

@

 

@

 

 

Замечание 11.4. В определении дифференциалов второго и выше порядков мы предполагали, что x и y независимые переменные. Если же переменные x и y сами являются функциями некоторых переменных t и s, то dmu, записанный через дифференциалы переменных x и y, вообще говоря,

имеет вид, отличный от (??).

Действительно, пусть x = x(t; s); y = y(t; s): В силу инвариантности формы первого дифференциала, du = @u@xdx + @u@y dy: Далее,

d2u =

 

(du)j t=dt; s=ds

= @xdx +

@y dy t=dt; s=ds =

 

dfg + fdg

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@u

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(fg) =

 

 

=

 

 

 

 

 

dx +

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

(dx)

+

 

 

(dy)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

 

@y

t=dt; s=ds

 

@x

 

 

 

 

@y

 

 

t=dt; s=ds

 

 

 

 

 

 

 

@u

 

 

 

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@u

 

 

 

@u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу инвариантности формы

I дифференциала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@u

 

 

 

 

@2u

 

 

 

@2u

 

 

 

 

 

@u

 

 

 

@2u

 

 

 

 

@2u

 

 

 

 

=

 

 

=

 

x +

y;

 

 

=

 

 

x +

 

y

=

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

u

2

 

2

u

 

 

 

 

 

2

u

2

 

 

@u

2

 

 

@u

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

@

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

@x

 

 

 

@x@y

 

 

 

 

@y

 

 

@x@y

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

dx

+ 2

 

 

 

 

dxdy +

 

 

dy

 

+

 

 

 

d x +

 

 

d y:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.32)

 

 

 

2

 

 

 

 

@y

2

 

 

 

 

@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

@x@y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание 11.5. В одном важном частном случае, когда переменные x; y являются линейными функциями независимых переменных t; s, дифференциалы II и выше порядков обладают свойством

инвариантности формы и определяются формулой (??).

 

 

 

 

 

 

Действительно, пусть x = at + bs;

y = ct + ds; ãäå a; b; c; d = const: Тогда, поскольку t; s

независимые переменные, то согласно ( ??)

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

@

 

m

@

 

@

 

m

 

 

 

dmx = dt

 

 

+ ds

 

 

x; dmy = dt

 

+ ds

 

 

y:

 

@t

@s

@t

@s

Íî

 

@mx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 8m 2: Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

@tm k@sk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d2x = d2y = = dmx = dmy = 0:

 

 

(11.33)

 

Тогда из (??) d2u = dx@x + dy

@y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u; то есть формула (??) справедлива. Далее по индукции,

 

 

@

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

используя равенства (??), получим (??) при любых m 2:

Замечание 11.6. Все сказанное естественным образом переносится на случай произвольного числа переменных. В частности, в случае независимых переменных x1; : : : ; xn (или в случае, когда x1; : : : ; xn линейные функции от независимых переменных) справедлива формула:

dmu =

@x1 dx1 + +

@xn dxn

m

(11.34)

u;

 

 

@

 

@

 

 

 

которая доказывается так же, как (??).

11.7Формула Тейлора

Лемма 11.7. Пусть функция f m раз дифференцируема в B"(x0) и k xk < ": Тогда функция '(t) = f(x0 + t x) m раз дифференцируема на [ 1; 1] и

'(m)(t) =

x1 @x1

+ + xn @xn

m

x = x0 + t x:

(11.35)

f

 

@

@

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 11. Функции многих переменных

48

JДокажем по индукции.

m = 1. Òàê êàê f дифференцируема в точке x0, то по Теореме ?? сложная функция '(t) = f(x0 + t x) дифференцируема на [ 1; 1] è

'0(t) =

n

@f

(x0)xi0(t) =

xi

= x0 + t x

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

@xi

xi0 =i xi i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@f

 

0

 

 

 

@f

 

0

 

@

@

 

 

 

= x1 @x1 (x

 

 

 

 

 

 

x1 @x1

+ + xn @xn

f

x=x0

+t x :

 

+ t x) + + xn @xn

(x + t x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть f m раз дифференцируема и формула ( ??) верна при m 1 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'(m 1)(t) =

x1 @x1 + + xn @xn

 

f x=x0+t x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

@

 

m 1

 

 

 

 

 

X@m 1f(x0 + t x)

=0 i1;:::;im 1 n @xi1 : : : @xim 1 xi1 : : : xim 1 :

Отсюда следует, что ' m раз дифференцируема. Докажем (??). Имеем

'(m)(t) = dm'jdt=1 = dmf(x0 + t x)jdt=1

Òàê êàê xi(t) = x0i + t xi линейная (по t) функция, то то мы можем применить формулу ( ??),

òàê ÷òî

'(m)(t) = @x1 dx1

+ + @xn dxn

m

x=x0+t x I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

раз дифференцируема

 

0

. Тогда

 

 

 

Теорема 11.22 (Тейлор). Пусть функция

 

f (m + 1)

â

 

x

 

B"(x0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B"(x )

 

8

2

 

 

 

 

 

x1 @x1 + + xn @xn

 

 

f x0 +

 

 

 

 

f(x) = f(x0) + k=1 k!

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

@

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.36)

+

(m + 1)! x1 @x1 + + xn @xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f x0+ x ; 0 < < 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JРассмотрим функцию '(t) = f(x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ t x): По Лемме ?? ' m + 1 раз дифференцируема на [0; 1];

поэтому для ' справедлива формула Тейлора (см. п. 6.3.1):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'(1) = '(0) + '0(0) + +

'(m)(0)

 

+

'(m+1)( )

; 0 < < 1:

 

(11.37)

 

m!

 

 

(m + 1)!

 

 

Отсюда, учитывая, что '(1) = f(x); '(0) = f(x0); и соотношение (??), получим (??). I

Следствие 1 (Локальная формула Тейлора). Если f m раз дифференцируема в O"(x0) и все частные производные m-го порядка непрерывны в точке x0, òî

m

f(x) = f(x0) + X 1 k!

k=1

@

x1 @x1

@

+ + xn @xn

k

f + o(k xkm); k xk ! 0: (11.38)

x0

JИз Теоремы ?? имеем

 

 

 

f(x) = f(x0) + k=1

k! x1

 

@x1

+ + xn @xn

 

f x0 + rm( x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

1

 

 

@

@

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

@

 

 

@

 

 

 

 

f x0+ x :

 

 

ãäå rm( x) =

 

 

 

x1

 

 

+ + xn

 

 

 

 

 

 

(m)!

@x1

@xn

 

 

 

 

 

 

 

@

m

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По условию

 

 

 

 

непрерывны в точке

 

x

0,следовательно,

 

 

@x

 

 

@x

 

 

 

 

 

i1

im

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@mf

 

 

 

 

 

 

 

@mf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x0 + x) =

 

(x0) + o(1); x ! 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

@xi1 @xim

@xi1 @xim
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности