Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матан2.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

892.53 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Глава 11. Функции многих переменных

11.5Частные производные высших порядков

Пусть функция f определена на некотором множестве M. Допустим, что некоторая частная про-

изводная

определена на M. Тогда если

имеет частную производную по xk в некоторой

@xi

точке x0 2 M; òî

называется частной производной f второго порядка ïî xi è xk

@xk

@xi

@2f

(2)

@2f

и обозначается

èëè fxixk: Åñëè i 6= k; òî

называется смешанной производной. Â

@xk@xi

@2f

называется повторной производной.

случае i = k

@xi@xi

@xi2

Частные производные более высоких порядков вводятся по индукции. Пусть введено понятие

@m 1f

(m 1)-й частной производной по аргументам xi1 ; : : : ; xim 1 :

. Если эта функция

@xim 1 ; : : : ; @xi1

имеет частную производную по xim в точке x0, то эта производная называется частной производной

m-го порядка по переменным xi1

; : : : ; xim и обозначается

@mf

; : : : ; @x

Пример 11.12. f = arctg(xy):

Имеем

;

@2f

1 x2y2

: Аналогично,

@2f

1 x2y2

1 + x2y2

@y@x

(1 + x2y2)2

@x@y

Òî, ÷òî

@2f

оказались равны, не является случайным совпадением. Ниже (Т. ?? è ??)

@y@x

@x@y

мы покажем, что это равенство верно для достаточно широкого класса функций. Но прежде мы рассмотрим пример функции, для которой это равенство не выполняется.

Пример 11.13.

(x2

y2)

f(x; y) =

; x2 + y2 6= 0;

x2 + y2

x = y = 0:

@:f

Упражнение 11.5. Доказать, что

@x@y

(0; 0) = 1;

@y@x

= 1:

Определение 11.27. Функция f называется m раз дифференцируемой в точке x0(x0

; : : : ; x0 ),

если все частные производные (m 1)-го порядка дифференцируемы в этой точке.

Теорема 11.17. Если все частные производные m-го порядка функции f непрерывны в точке M0; то f m раз дифференцируема в этой точке.

JСледует из Теоремы ??: I

Теорема 11.18. Пусть функция f дважды дифференцируема в точке M0(x0; y0). Тогда


	@2f						@2f
			(M0) =					(M0) :	(11.18)
	@y@x		(M0) =				@x@y	(M0) :	(11.18)
JИз условия теоремы следует, что		@f		è	@f		определены в некоторой окрестности		O(M0) è
JИз условия теоремы следует, что		@x		è		@y	определены в некоторой окрестности		O(M0) è
		@x				@y

дифференцируемы в точке M0: Пусть h 2 R1 : (x0 + h; y0 + h) 2 O(M0): Рассмотрим выражение

Имеем

= f(x0 + h; y0 + h) f(x0 + h; y0) (f(x0; y0 + h) f(x0; y0)) :

(11.19)

= ' = '(x0 + h) '(x0);

ãäå '(x) = f(x; y0 + h) f(x; y0).

Òàê êàê

9 â O(M0); òî '(x) дифференцируема на (x0; x0 + h) è '0 (x) =

+ h)

(x; y0

(x; y0). Тогда по формуле Лагранжа ' = '0 (x0 +

h) h; ãäå 0 < < 1: Следовательно,

@x (x0 + h; y0 + h)

@x (x0 + h; y0)

h =

@x (x0 + h; y0 + h)

@x (x0; y0) h

@x (x0 + h; y0)

@x (x0; y0) h:

(11.20)

Глава 11. Функции многих переменных

Но по условию теоремы функция @f@x дифференцируема в точке M0; следовательно,

@f	(x0		+ h; y0 + h)	@f	(x0; y0)	=
@x				@x
		@f	(x0 + h; y0)	@f	(x0; y0)	=

		@x		@x

Подставляя (??) è (??) â (??), будем иметь

@2f		@2f
	(M0) h +		(M0)h + o (h) ;	(11.21)
2	(M0) h +		(M0)h + o (h) ;	(11.21)
@x		@y@x
@2f	(M0) h + +o (h) :			(11.22)
2	(M0) h + +o (h) :			(11.22)
@x

@2f

(M0)h2 + o(h2); h ! 0:

(11.23)

@y@x

С другой стороны,

= = (y0 + h) (y0);

ãäå (y) = f(x0 + h; y) f(x0; y).

Повторяя те же рассуждения, что и для ', будем иметь

@2f

(M0)h2 + o(h2); h ! 0:

(11.24)

@x@y

Приравняв правые части (??) è (??) и сократив на h2, получим

@2f

(M0) + o(1) =

(M0) + o(1); h ! 0:

@y@x

@x@y

Отсюда, устремив h ! 0, получим (??). I

@2f

Теорема 11.19. Пусть в некоторой O(M0) существуют

;

: Далее

пусть

@x@y

@y@x

fxy(2); fyx(2) непрерывны в точке M0. Тогда

@2f

(M0) =

(M0):

(11.25)

@y@x

@x@y

JРассмотрим выражение

= f(x0 + h; y0 + h) f(x0 + h; y0) (f(x0; y0 + h) f(x0; y0)) ;

(11.26)

где число h выбрано так, что (x0 + h; y0 + h) 2 O(M0):

Введем функцию '(x) = f(x; y0 + h) f(x; y0); x 2 [x0; x0 + h]: Тогда

= ' = '(x0 + h) '(x0):

Функция '(x) непрерывна на [x0; x0 + h] и дифференцируема на (x0; x0 + h). Тогда по формуле Лагранжа

' = '0 (x0 + h) h;

ãäå 0 < < 1:

Íî '0(x) =

+ h)

(x; y0

(x; y0) ; следовательно,

h = ( (y0 + h) (y0))h;

= @x

(x0 + h; y0

+ h) @x (x0 + h; y0)

ãäå (y) =

(x0 + h; y).

По условию теоремы функция (y) дифференцируема, поэтому по Теореме Лагранжа

		(y0 + h) (y0) = 0(y0 + 1h)h;
ãäå 0 < 1 < 1: Íî 0(y) =	@2f
		(x0	+ h; y); òàê ÷òî

	@y@x

m-ãî порядка включительно определены в не зависят от порядка дифференцирования,

Глава 11. Функции многих переменных

@2f

+ h; y0 + 1h)h2:

(x0

@y@x

Далее, поскольку функция

@2f

непрерывна в точке M0, òî

@y@x

@2f

(x0

+ h; y0 + 1h) =

(M0) + o(1); h ! 0;

@y@x

откуда

@2f

(M0) + o(1) h2:

(11.27)

@y@x

С другой стороны,

= (y0 + h) (y0);

ãäå (y) = f(x0 + h; y) f(x0; y). Повторяя предыдущие рассуждения для функции , получим

=	@2f	(M0) + o(1) h2; h ! 0:	(11.28)
	@x@y

Приравняем правые части (??) è (??) и сократим на h2. Далее, устремив h ! 0, получим (??). I

Теорема 11.20. Пусть все частные производные до

@mf O(M0) и непрерывны в точке M0. Тогда @xim : : : @xi1

то есть не меняется при любой перестановке i1; : : : ; im:

JДокажем по индукции.

Ïðè m = 2 утверждение совпадает с Теоремой ??.

Допустим, что при k

m утверждение верно. Докажем, что оно верно и при

k = m + 1:

m+1

Итак пусть

непрерывны в точке M0

при любых i1; : : : ; im+1

: Имеем

: : : @x

im+1

@m+1f

@mf

(11.29)

@xim+1 : : : @xi1

@xim+1

@xim : : : @xi1

По предположению индукции выражение, стоящее в скобках не меняется при любой перестановке i1; : : : ; im; так что достаточно доказать, что правая (значит, и левая) часть ( ??) не меняется

при перестановке im+1 è im. По определению

@mf

g =

;

@xim+1

@xim : : : @xi1

@xim+1

@xim

@xim+1 @xim

ãäå

функция

@m 1f

удовлетворяет

âñåì

условиям Теоремы ??, поэтому

@xim 1 : : : @xi1

@2g

, откуда следует доказываемое утверждение. I

im+1

11.6Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим сначала случай n = 2: Для удобства в дальнейшем наряду с традиционным символом

d для обозначения дифференциала будем употреблять символ : f =					@u	x +	@u	y èëè df =
					@x	x +	@y	y èëè df =
					@x		@y
	@u	dx +	@u	dy:
		dx +		dy:
	@x		@y

Итак, пусть функция u = f(x; y) дважды дифференцируема в точке M0, следовательно, имеет в

некоторой O(M0) частные производные первого порядка, которые дифференцируемы в точке M0. Поэтому, если зафиксировать dx è dy, то функция du = @u@x(x; y)dx + @u@y (x; y)dy; зависящая только

M0. Тогда

Глава 11. Функции многих переменных

от 2 переменных x è y, будет дифференцируемой в точке M0: Обозначим через (du) дифференциал этой функции в точке M0, соответствующий приращениям x è y: Имеем

@2u

(du) =

dx +

dy =

x +

y dx +

x +

y dy =

@x2

@y@x

@x@y

@y2

@2u

xdx +

( ydx + xdy) +

ydy:

(11.30)

@x@y

Определение 11.28. Вторым дифференциалом d2u функции u = f(x; y) в данной точке называ-

ется выражение

(du)j x=dx; y=dy ;

где дифференциал берется при фиксированных значениях дифференциалов dx и dy независимых переменных x и y.

Из определения и равенства ( ??) следует

	@2u			@2u		@2u
d2u =		dx2	+ 2		dxdy +			dy2	:
	2					@y	2
	@x			@x@y

Пример 11.14. u = x3 cos2 y:

du = 3x2 cos2 ydx x3 sin 2ydy: d2u = 6x cos2 ydx2 6x2 sin 2ydxdy 2x3 cos 2ydy2:

Дифференциал m-го порядка определяется по индукции. Пусть функция u = f(x; y) m раз дифференцируема в точке

dmu(M0) = dm 1u x=dx; y=dy ;

где дифференциал берется при фиксированных значениях дифференциалов dx è dy независимых переменных x è y.

Теорема 11.21. Пусть f m раз дифференцируема в точке M0: Тогда

@mu

dmu =

Cmk

dxm kdyk:

(11.31)

@xm k@yk

k=0

JДокажем по индукции.

Ïðè m = 2 верно.

Пусть (??) верно при m: Докажем (??) ïðè m + 1:

@mu

x=dx; y=dy dxm kdyk =

dm+1u =

(dmu)j x=dx; y=dy

= k=0 Cmk

@xm k@yk

m+1

k+1

k=0 Cm

@xm+1 k@yk dx

+ @xm k@yk+1 dx

@m+1u

dxm+1 kdyk + Ci

dxm idyi+1

k@yk

i@yi+1

m @xm+1

m @xm

k=0

i=0

i + 1 = k )

= m+1 Ck 1

@m+1u

dxm+1 kdyk

@xm+1 k@yk

0 7!1; m 7!m + 1

k=1

m+1

Ck + Ck 1

m+1 kdyk +

@xm+1 k@yk

@xm+1

@ym+1

k=0

m+1

@m+1u

= Cmk + Cmk 1 = Cmk +1

= Cmk +1

dxm+1 kdyk: I

@xm+1 k@yk

k=0

Замечание 11.3. Полагая в формуле для бинома Ньютона

(a + b)m = Cmk am kbk k=0

a = @x@ dx; b = @y@ dy; формально будем иметь

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2317 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.201541.47 Кб15мастер класс создание плакатов..doc
#
10.11.2019250.29 Кб6мат статистика.docx
#
16.09.2019303.1 Кб9матан экз.doc
#
18.03.2016374.13 Кб14матан.docx
#
23.09.20191.1 Mб15матан.docx
#
17.05.2015892.53 Кб21матан2.pdf
#
28.10.2018119.3 Кб1матвеев.doc
#
07.09.2019171.82 Кб2матем ответы.docx
#
12.11.2019367.62 Кб3математика 10-11кл.doc
#
17.05.201521.26 Кб15математика 4 класс для вк.docx
#
17.05.2015900.61 Кб49Математика 9 класс 3 варианта.doc