Пример 11.7. f(x; y) = x sin(1=x) + y ; M0 = 0: x + y

JИз условия 1) следует, что

8 " > 0 9 = (") > 0 : 8 (x; y) 2 0 < jx x0j < ; 0 < jy y0j < )

11.3Непрерывность функции многих переменных

11.3.1Понятие непрерывности

Пусть функция f определена на M Rn; a 2 M è a предельная точка M.

Определение 11.19. Функция f называется непрерывной в точке a тогда и только тогда, когда

lim f(x) = f(a):

x!a

Функция f непрерывна на M тогда и только тогда, когда f непрерывна в каждой точке M.

f по любой прямой существует и равен 0. Тем не менее, предел lim f(x; y) не существует, ибо

(x;y)!0

lim f(x; y) = 1=2:

y=x2!0

11.3.2 Основные свойства непрерывных функций

1) Арифметические свойства

Те же, что и в случае n = 1 (ñì. ï. 4.1.2).

2) Непрерывность сложной функции

Определение 11.20. Пусть на N Rk определены функции:

x1 = '1(t1; t2; : : : ; tk);

: : :

xn = 'n(t1; t2; : : : ; tk);

причем (x1; : : : ; xn) 2 M Rn 8 (t1; t2; : : : ; tk) 2 N; то есть на N задана вектор функция (t) с областью определения N и областью значений M:

Тогда если на M определена функция f(x); то говорят, что на N задана сложная функция f( (t)).

Теорема 11.6. Пусть функции '1; : : : ; 'n непрерывны в точке a = (a1; : : : ; an) 2 N и f непрерывна в точке b = (b1; : : : ; bn); ãäå bi = '(a): Тогда сложная функция f( (t)) непрерывна в точке a.

r1(t); : : : ; xn = rn(t); t 2 [0; 1]; g ãäå ri непрерывны на [0; 1]: Вектор-функция r(t) = (r1(t); : : : ; rn(t)) называется параметризацией, точки a = r(0) и b = r(1) началом и концом кривой .

Определение 11.22. Множество M Rn называется линейно связным тогда и только тогда, когда 8 a; b 2 M 9 кривая M с началом a и концом b.

Теорема 11.8. Пусть f непрерывна на линейно связном множестве M Rn и пусть a; b 2 M и c любое число, заключенное между f(a) и f(b). Тогда для любой кривой ; лежащей в M и соединяющей точки a; b, существует точка 2 такая, что f( ) = c:

JПусть r(t) параметризация кривой . Тогда сложная функция g(t) = f(r(t)) непрерывна на [0; 1], причем g(0) = f(a); g(1) = f(b); так что число c заключено между g(0) è g(1). Тогда по Теореме Коши о промежуточном значении (см. п. 4.5.2) 9 t 2 [0; 1] : g(t) = c: ßñíî, ÷òî = r(t) удовлетворяет всем условиям. I

5) Теоремы Вейерштрасса

Теорема 11.9 (I Теорема Вейерштрасса) . Пусть f непрерывна на компакте K Rn: Тогда f ограничена на K.

JN : 8 n 2 N 9 xn 2 K : f(xn) > n: Так как последовательность fxng ограничена, то по Теореме ?? существует подпоследовательность xni , сходящаяся к некоторой точке a; которая, в силу замкнутости K (Ò.??), принадлежит K. Функция f непрерывна, следовательно, последовательность

f(a) в противоречии с тем, что

Теорема 11.10 (II Теорема Вейерштрасса) . Пусть f непрерывна на компакте K Rn: Тогда f

Доказательство дословно совпадает с доказательством в случае n = 1 (ñì. ï. 4.5.2).