Глава 12
Неявные функции
12.1Существование и дифференцируемость неявной функции
12.1.1Понятие о неявной функции
Во многих вопросах приходится сталкиваться с ситуацией, когда переменная y, которая является по смыслу функцией переменных x1; : : : ; xn; задается с помощью уравнения
F (x1; : : : ; xn; y) = 0: |
(12.1) |
Поставим вопрос: при каких условиях на F уравнение (??) однозначно разрешимо относительно
y, то есть существует единственная функция y = f(x1; : : : ; xn) : F (x1; : : : ; xn; f(x1; : : : ; xn)) 0 и каковы свойства этой функции?
12.1.2Неявная функция одной переменной
Сначала мы рассмотрим случай n = 1 :
F (x; y) = 0:
Теорема 12.1. Пусть функция F (x; y) |
определена в некоторой окрестности O(M0) точки |
|||||
M0(x0; y0) 2 R2 è |
|
|
|
|
|
|
1. |
F дифференцируема в O(M0); причем |
|
@F |
непрерывна в точке M0 è |
@F |
(M0) 6= 0; |
|
|
|
||||
|
@y |
@y |
||||
2. |
F (M0) = 0: |
|
|
|
|
|
Тогда существуют прямоугольник = f(x; y) : jx x0j < ; jy y0j < g O(M0) и единственная функция f(x) такие, что:
a) 8 (x; y) 2
F (x; y) = 0 |
|
, y = f(x); |
(12.2) |
||||
á) f дифференцируема на (x0 ; x0 |
+ ) è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@F |
(x; f(x)) |
|
||
f0 |
|
|
|
@x |
|
||
(x) = |
|
|
: |
(12.3) |
|||
@F |
|
||||||
|
|
(x; f(x)) |
|
||||
|
|
|
|
@y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
J1. Существование и единственность f. Пусть |
@F |
(M0) > 0 (случай |
@F |
(M0) < 0 àíà- |
|||||||||
|
@y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@y |
|
|||||
логичен). Так как по условию 1) |
@F |
непрерывна в O(M0); то по Теореме об устойчивости знака |
|||||||||||
@y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
непрерывной функции (п. 11.3.2) существует круг B (M0), в котором |
@F |
> 0: |
|
|
|||||||||
@y |
|
|
|||||||||||
Зафиксируем |
p |
|
. Тогда замкнутый квадрат |
K = f(x; y) : jx x0j ; |
jy y0j g |
||||||||
|
|||||||||||||
|
< = 2 |
|
|
|
|||||||||
B (M0); следовательно,
53
Глава 12. Неявные функции |
|
|
|
|
|
|
54 |
|
|
|
@F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(M) > 0 8 M 2 K : |
|
(12.4) |
|||
|
|
@y |
|
|||||
|
|
|
|
; y0 + ]: Имеем '0(y) = |
@F |
( |
) |
|
|
Рассмотрим функцию '(y) = F (x0; y); y 2 [y0 |
|
(x0 |
; y) > 0 ) |
||||
|
@y |
|||||||
функция '(y) монотонно растет на (y0 ; y0 + ) |
) '(y0 ) < '(y0) = 0 < '(y0 + ); òî åñòü |
|||||||
F (x0; y0 ) < F (M0) = 0 < F (x0; y0 + ). |
непрерывны на [x0 ; x0 + ] |
|
|
|||||
|
Далее, поскольку функции (x) |
= F (x; y ) |
è +(x0) > |
|||||
0; |
(x0) < 0; то, согласно Теореме об устойчивости знака непрерывной функции |
9 0 |
< |
|||||
: |
8 x 2 (x0 ; x0 + ) +(x) > 0; |
(x) < 0; òî åñòü |
|
|
||||
|
F (x; y0 ) < 0 < F (x; y0 + ); jx x0j < : |
|
(12.5) |
|||||
Покажем, что прямоугольник = f(x; y) : jx x0j < ; jy y0j < g является искомым, то есть в
нем выполняется (??).
Зафиксируем x0 2 (x0 ; x0 + ) и рассмотрим функцию
'(y) = F (x0; y); y 2 I = [y0 ; y0 + ]:
Свойства '.
1. ñèëó (??), '(y0 ) < 0; '(y0 + ) > 0:
2.' монотонно растет на I , òàê êàê '0(y) = @F@y (x0; y) (>) 0:
3.' непрерывна на I (так как по условию F дифференцируема, значит, непрерывна).
Из этих свойств на основании Теоремы Коши о прохождении через 0 (п. 4.4.2) заключаем, что
9! y0 2 (y0 ; y0 + ) : '(y0) = 0; F (x0; y0) = 0:
Таким образом, 8 x 2 (x0 ; x0 + ) 9! y 2 (y0 ; y0 + ) : F (x; y) = 0: Следовательно, существует единственная функция y = f(x) : D(f) = (x0 ; x0 + ); E(f) = (y0 ; y0 + ) è
F (x; f(x)) = 0 8 x 2 (x0 ; x0 + ):
Тем самым п. а) доказан. Чтобы доказать б), сначала мы установим
2. Непрерывность. Òàê êàê F (x0; y0) = 0; òî y0 = f(x0):
Пусть 0 < " < : Ясно, что мы можем повторить все рассуждения пункта 1 при = ". В результате мы построим функцию y = f~(x); определенную на [ ; ], ãäå = (") 2 (0; ]; такую,
÷òî |
~ |
|
~ |
|
|
|
F (x; y) = 0 , |
(x; y) 2 |
jx x0j < ; jy y0j < "g: |
(12.6) |
|||
y = f(x) 8 |
" = f(x; y) : |
|||||
Íî ~ |
|
|
|
~ |
; x0 + ): |
|
" ; отсюда на основании (??) è (??) заключаем, что f(x) f(x) 8 x 2 (x0 |
||||||
Следовательно, 8 " > 0 9 > 0 : jf(x) f(x0)j < " 8 x 2 x 2 (x0 ; x0 + ); òî åñòü f непрерывна в точке x0.
Пусть теперь x произвольная точка из (x0 ; x0 + ) è y = f(x): Тогда точка M(x; y) удовлетворяет условиям 1, 2 , следовательно, для нее справедливо все, что доказали для M0; в частности, f непрерывна в точке x. Тем самым непрерывность f íà (x0 ; x0 + ) доказана.
Пусть x 2 (x0 ; x0 + ) è x : x + x 2 (x0 ; x0 + ). Далее пусть y = f(x) è y = f(x + x) f(x): Â ñèëó (??) имеем F (x; y) = 0; F (x + x; y + y) = 0) )F = F (x + x; y + y) F (x; y) = 0:
По условию F дифференцируема в точке (x; y) 2 ; òàê ÷òî
|
|
0 = F = |
@x (x; y) + |
x + @y (x; y) + ! |
y; |
(12.7) |
|||||
|
|
|
|
|
@F |
|
|
@F |
|
|
|
По доказанному |
p |
|
|
|
|
|
|||||
|
y ! 0 ïðè x ! 0 ) ! 0; x ! 0 ) |
|
|
||||||||
ãäå ; ! ! 0 ïðè = |
x2 + y2 |
! 0: |
|
|
|
|
|
||||
|
(ï.2), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ! ! 0; |
x ! 0: |
|
(12.8) |
||