Глава 11. Функции многих переменных |
39 |
6) Равномерная непрерывность
Определение 11.23. Функция f называется равномерно непрерывной на M тогда и только тогда, когда 8 " > 0 9 = (") > 0 : 8 x; x0 2 M (x; x0) < ) jf(x) f(x0)j < ":
Теорема 11.11 (Кантор). Непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна.
JN : 9 "0 : 8 > 0 9 x = x( ); x0 = x0( ) : (x; x0) < ; íî |
|
jf(x) f(x0)j ": |
(11.8) |
Пусть n = 1=n; n 2 N; x( n) xn; x0( n) yn: Тогда |
|
(xn; yn) < 1=n: |
(11.9) |
Далее, поскольку fxng ограничена, то по Теореме ?? существует подпоследовательность fxni g, сходящаяся к некоторой точке a; причем a 2 K; вследствие замкнутости последнего. Отсюда, учитывая непрерывность f, заключаем, что f(xni ) ! f(a); i ! 1: Â ñèëó (??), то же самое верно и для fyni g, òî åñòü yni ! a; i ! 1, òàê ÷òî f (yni ) ! f(a); i ! 1. Но тогда f(xni ) f(x0ni ) ! 0; i ! 1; что противоречит с (??) I
11.4Дифференцируемость функции многих переменных
11.4.1Частные производные
Пусть x = (x1; : : : ; xn) внутренняя точка M = D(f). Далее пусть xi : x0 = (x1; : : : ; xi 1; xi +xi; xi+1; : : : ; xn) 2 M: Тогда величина if = f(x0) f(x) называется частным приращением
функции f в точке x, соответствующее частному приращению аргумента xi.
Определение 11.24. Если существует конечный предел lim |
|
if |
; то значение этого предела |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi!0 |
|
xi |
@f |
|
|||
называется частной производной функции f в точке x по xi |
и обозначается |
èëè f0 : |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xi |
||
Пример 11.10. f(x; y) = arctg(xy2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
@f |
|
y2 |
|
|
@f |
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
; |
|
= |
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
@y |
|
2 |
y |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
@x 1 + x y |
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 11.11. |
|
|
|
|
|
|
f(x; y) = ( |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; x2 + y2 6= 0; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
x = y = 0: |
|
|
|
|
|
||||||
Имеем |
|
@f |
(0; 0) = |
lim |
f( x; 0) f(0; 0) |
|
= 0: Аналогично, |
@f |
(0; 0) = 0: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
@y |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
@x |
|
|
x!0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заметим, что функция f разрывна в точке O (cм. Пример ??). Таким образом, из существо-
вания конечных частных производных еще не следует непрерывность. Здесь мы сталкиваемся с существенным отличием одномерного и многомерного случаев.
11.4.2Дифференцируемость функции многих переменных
Пусть x = (x1; : : : ; xn) внутренняя точка M = D(f) и пусть x = ( x1; : : : ; xn) : x + x 2 M: Тогда величина f = f(x + x) f(x) называется полным приращением функции f в точке x,
соответствующее приращению аргумента x.
Определение 11.25. Функция f называется дифференцируемой в точке x тогда и только тогда, когда ее приращение представляется в виде
f = A1 x1 + + An xn + o(k xk); k xk ! 0; |
|
(11.10) |
||
ãäå Ai = const; k xk = p |
|
: |
|
|
x12 + + xn2 |
@f |
|
||
Теорема 11.12. Если f дифференцируема в точке x, то частные производные |
|
(x) существу- |
||
@xi |
||||
ют и равны Ai, ãäå Ai определяются по (??). |
|
|
||
Глава 11. Функции многих переменных |
40 |
JÒàê êàê f дифференцируема, то из (??) ïðè x = (0; : : : ; 0; xi; 0; : : : ; 0) будем иметь if =
A x + o( x ); x 0; |
= A + |
A| |
; |
|
{z |
|
} |
|
|
|
|
i 1 |
|||
|
|
i ! |
откуда |
if |
o( xi) |
! i |
x |
i ! |
0: |
I |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
i i |
i |
xi |
i xi |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
Лемма 11.6. Если f дифференцируема в точке x, то она непрерывна в этой точке.
n
P
JСогласно (??), имеем f = Ai xi + o(k xk) ! 0; k xk ! 0. I
1
11.4.3Дифференциал
Из (??) видно, что если A21 + + A2n 6= 0; то для дифференцируемой функции сумма A1 x1 + + An xn является главной2, линейной (относительно x) частью приращения f в точке x. Эта часть называется дифференциалом f и обозначается df:
|
@f |
df = df(x; x) = A1 x1 + + An xn: |
(11.11) |
|||
Åñëè f(x) = xi; òî |
= ij ) dxi = xi: Поэтому соотношение (??) мы можем записать в |
|||||
|
||||||
@xj |
||||||
âèäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
@f |
|
||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
df = |
@xi |
dxi: |
(11.12) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Замечание 11.2. В равенстве (??) dxi есть лишь другое обозначение приращения независимой переменной. В дальнейшем мы убедимся (Т. ??), что формула (??) остается справедливой и в случае зависимой переменной, то есть когда xi сами являются функциями от других переменных.
11.4.4Достаточное условие дифференцируемости
@f
Теорема 11.13. Пусть функция f имеет частные производные @xi в некоторой окрестности
точки M0 = (x0; : : : ; x0 ) è @f ; i = 1; n; непрерывны в точке M0: Тогда f дифференцируема в
1 n @xi
точке M0.
JДля сокращения записи доказательство проведем для функции двух переменных (общий слу-
чай принципиально не отличается от случая n = 2).
Итак, пусть fx0 ; fy0 существуют в O(M0) и непрерывны в точке M0(x0; y0): Выберем x; y так, чтобы M(x0 + x; y0 + y) 2 O(M0): Имеем
f = f(x0 + x; y0 + y) f(x0 + x; y0) + f(x0; y0 + y) f(x0; y0):
Введем в рассмотрение функцию g(y) = f(x0 + x; y); y 2 [y0; y0 + y]: По условию g дифференцируема и g0(y) = @f@y (x0 + x; y): Тогда по Теореме Лагранжа g(y0 + y) g(y0) = g0( 1) y; ãäå1 = y0 + 1 y; 0 < 1 < 1: Следовательно,
@f
f(x0 + x; y0 + y) f(x0 + x; y0) = @y (x0 + x; 1) y:
Аналогично,
@f
f(x0; y0 + y) f(x0; y0) = @x ( 2; y0) x; 2 = x0 + 2 y; 0 < 2 < 1:
Таким образом,
f = |
@f |
(x0 |
+ x; 1) y + |
@f |
( 2; y0) x; |
|
|
||||
@y |
@x |
ãäå 1 ! y0; 2 ! x0 ïðè x; y ! 0:
n
P
2В смысле: f Ai xi; k xk ! 0:
1
Глава 11. Функции многих переменных |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
||||||||||
Далее, поскольку |
@f |
; |
@f |
|
непрерывны в точке M0; òî |
|
|
|
|
|||||||||
|
@y |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
@x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
@f |
|
|
|
|
@f |
|
|
@f |
|
@f |
|
|
|||||
|
|
(x0 + x; 1) = |
|
(x0; y0) + 1( x); |
|
( 2 |
; y0) = |
|
(x0; y0) + 2 |
( y); |
||||||||
|
@y |
@y |
@x |
@y |
||||||||||||||
ãäå 1;2 ! 0; x; y ! 0; поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
@f |
|
|
|
|
||||
|
|
f = |
|
|
(x0; y0) x + |
|
(x0; y0) y + o(k xk); k xk ! 0; |
|
||||||||||
|
|
|
@x |
@y |
|
|||||||||||||
что и означает дифференцируемость f точке M0I
11.4.5 Дифференцируемость сложной функции
Рассмотрим сложную функцию u = f(r(t)); определенную в некоторой окрестности |
точки |
M0(t10; : : : ; tk0) M0(t0): По определению это означает, что u = f(x1; : : : ; xn); ãäå |
|
x1 = r1(t1; : : : ; tk); |
|
: : : : : : : : : : : : : : : |
(11.13) |
xn = rn(t1; : : : ; tk): |
|
Теорема 11.14. Пусть функции r1(t); : : : ; rn(t) дифференцируемы в точке M0(t0), а функция f дифференцируема в точке N0(x01; : : : ; x0n); ãäå x0i = ri(t0): Тогда сложная функция u = f(r(t)) дифференцируема в точке M0 è
@u |
= |
@f @x1 |
|
+ + |
@f @xn |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
@t1 |
@x1 @t1 |
@xn @t1 |
||||||||||
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
(11.14) |
|||||||||||
@u |
|
= |
@f @x1 |
|
+ + |
@f @xn |
|
: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
@tk |
|
@x1 @tk |
|
@xn @tk |
|
|||||||
JПридадим аргументам t1; : : : ; tk в точке M0 приращения t1; : : : ; tk: Тогда функции(??) получат приращения x1; : : : ; xn: Этим приращениям, в свою очередь, соответствует приращениеu функции u = f(x) в точке N0: По условию f дифференцируема в точке
n |
@f |
|
|
X |
|
|
|
u = |
@xi |
(N0) xi + ( ); |
(11.15) |
1 |
|
|
|
ãäå (k xk) = o(k xk); k xk ! 0:
Функции ri(t) дифференцируемы в точке M0; следовательно,
|
|
xi = |
k |
@ri |
(M0) tj + ( ); |
(11.16) |
|
|
|||||
|
|
|
1 |
@tj |
|
|
|
p |
|
X |
|
||
Подставляя (??) â (??), |
|
|
|
|
|
|
ãäå ( ) = o( ); ! 0; = |
|
t12 + + tk2: |
|
|||
будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
n @f |
k |
@ri tj + ( t) = |
k Aj tj + ( t); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xi |
@tj |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
j=1 |
|
j=1 |
||||||
ãäå ( t) = (k xk) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
@xi ( ); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
@f |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
n @f @ri |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aj = |
Xi |
|
|
|
; j = 1; : : : ; k: |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@xi @tj |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что ( t) = o( ); ! 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Òàê êàê |
@f |
|
числа, не зависящие от t; то достаточно проверить, что (k xk) |
|||||||||||||||||
|
@xi |
|
|||||||||||||||||||
|
Из соотношения (??) имеем j xij C ; ãäå C = const: Следовательно, k xk |
||||||||||||||||||||
o(k k |
|
pnC |
k x k |
|
|
! 0; ! 0: |
|
|
|||||||||||||
|
x |
) |
|
|
|
|
o( x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.17)
= o( ); ! 0:
p
nC ; откуда
Глава 11. |
Функции многих переменных |
|
42 |
следует |
k |
и формулы (??). I |
|
P u в точке M0 |
|||
Таким образом, u = j=1 Aj tj + o( ); |
|
! 0; ãäå Aj вычисляются по формуле (??). Отсюда |
|
дифференцируемость
11.4.6Инвариантность формы первого дифференциала
Теорема 11.15. Формула (??) справедлива и в том случае, когда x1; : : : ; xn являются дифферен- цируемыми функциями переменных t1; : : : ; tk.
JПусть f дифференцируема в точке N0(x01; : : : ; x0n); xi = ri(t)(ri(t0) = x0i ) дифференцируемы в точке M0(t01; : : : ; t0k). Тогда по Теореме ?? сложная функция u = f(r(t)) дифференцируема в точке
M0 и, согласно (??),
du = |
k |
@u |
dtj (=) |
|
|
k |
|
n |
@u |
|
@xi |
dtj = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
@tj |
|
|
|
|
|
|
|
|
@xi @tj |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 i=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
X |
|
|
Xj |
X |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
k |
@xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
@u |
|
dtj: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
@xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
=1 |
j=1 |
@tj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Xi |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
@ri |
|
|
|
n |
@u |
|
|
Далее, снова используя формулу ( ??), имеем dxi = |
P |
|
|
|
|
|
|
iP |
|
dxi: I |
||||||||
|
@t |
|
|
|
@x |
|||||||||||||
j=1 |
|
dtj; следовательно, du = |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
=1 |
i |
|||||||
11.4.7Производная по направлению. Градиент
Пусть в Rn задана прямоугольная система координат и пусть e = (e1; : : : ; en) некоторый единич-
ный вектор. Тогда если |
|
|
k1 |
; : : : ; kn направляющие векторы координатных осей и i угол между |
|
|
|
|
ki è e, òî |
|
|
|
|
|
|
ei = (e; ki) = jej jkij cos i = cos i: |
|
Âсилу этого равенства, числа e1; : : : ; en называются направляющими косинусами вектора e: Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки a 2 Rn и дифференцируема
в этой точке. Рассмотрим сложную функцию ue(t) = f(a + te). Она является функцией одной переменной t, определена в некоторой окрестности 0 и дифференцируема в точке t = 0 и по формуле (??)
u0 (0) = |
n |
@f (a)x0(0) = |
n |
@f (a) cos : |
||
e |
X |
|
i |
X |
|
i |
|
|
|
|
|||
|
1 |
@xi |
1 |
@xi |
||
Определение 11.26. Производная сложной функции ue(t) в точке t = 0 называется производ-
ной функции f по направлению e в точке a и обозначается |
@f |
|
(a): |
|||||||||
@e |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из определения следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
@f |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= (rf; e); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@e |
|
|
|
|||
ãäå |
@f |
@f |
|
|
|
|
|
|||||
rf = ( |
@x |
1; : : : ; |
@x |
n): Вектор rf называется градиентом функции f. |
||||||||
Теорема 11.16. Наибольшее значение производной функции |
f по направлению равно длине гради- |
|||
|
|
|
|
|
ента и достигается при e = |
rf |
. |
|
|
|
|
|
||
jrfj |
|
|
|
|
JУтверждение следует непосредственно из формулы |
|
|||
@f |
|
|
|
|
@e = (rf; e) = jrfj jej cos ' = jrfj cos ';
ãäå ' угол между градиентом и направлением, по которому берется производная. I