12.3.3Достаточные условия

В пунктах 1 и 2 мы двумя способами получили необходимые условия условного экстремума. В этом пункте мы рассмотрим один из способов дополнительного исследования точек возможного условного экстремума.

Пусть в точке M0 выполнены необходимые условия экстремума, например, ( ??). Кроме того, до-

полнительно потребуем, чтобы функции f è F1; : : : ; Fn имели частные производные второго порядка, непрерывные в O(M0). Тогда функция обладает такими же свойствами, так что по достаточному

условию дифференцируемости является дважды дифференцируемой в O(M0): Далее, так как 8 M; удовлетворяющей условиям связи ( ??),

n

X

(M) (M0) = f(M) f(M0) + i(Fi(M) F (M0)) = f(M) f(M0);

i=1

òî M0 точка условного экстремума функции f тогда и только тогда, когда M0 точка экстре-

мума (безусловного!) функции : Поэтому к функции можно применить достаточные условия

экстремума, а именно:

Åñëè d2 (M0) положительно (отрицательно) определена, то M0 точка минимума (максимума)

òî åñòü d2 в точке M0 вычисляется так же, как в случае, когда x1; : : : ; xm; y1; : : : ; yn независимые переменные.

Далее отметим, что так как нам требуется исследовать на знакоопределенность

при наличии связей (??), то при изучении d2 (M0) следует в формулу (??) подставить выражения dy1; : : : ; dyn; определяемые из системы ( ??).

12.3.4Пример

Пусть на множестве M = f(x; y; z; t) 2 R4 : x; y; z; t > 0g задана функция f = x + y + z + t:

Требуется найти экстремум этой функции при условии

F (x; y; z; t) = xyzt c4 = 0;

ãäå c > 0 некоторая постоянная. Запишем функцию Лагранжа

= x + y + z + t (xyzt c4)

èнеобходимые условия экстремума

>

>

>

:

Система (??) в данном случае имеет вид

dF (M0) = c3(dx + dy + dz + dt) = 0;

откуда dt = (dx + dy + dz): Подставляя это выражение в ( ??), будем иметь

=1c (dx + dy + dz)2 + 1c dx2 + dy2 + dz2 :

Отсюда видно, что d2 (M0) положительно определена, следовательно, M0 точка условного ми- нимума.

Сумма Дарбу нижняя, 13 верхняя, 13

Свойства определенного интеграла, 17 аддитивность, 18 линейность, 17 монотонность, 18

Табличные интегралы, 5 Òåëî, 30

кубируемое, 31 объем

нижний, 31 верхний, 31

простое, 31 вращения, 31 объем, 32

Теорема Больцано Вейерштрасса, 37

Гейне Бореля Лебега, 36 Кантора о равномерной непрерывности, 41 Коши о промежуточном значении, 40

î2 милиционерах, 38

îнеявной функции многих переменных, 57

îнеявных функциях, 58

îнеявной функции одной переменной, 55

îвзаимно-однозначном отображении, 60 Вейерштрасса

первая, 40

вторая, 40 Условный экстремум, 61

метод Лагранжа, 63