MODELIROVANIE_metodichka

Вариант 6

Моделируются структурно-механические свойства кекса. В качестве функции отклика y принята пористость кекса (%); в качестве независимых факторов x1 – количество порошкообраз- ного яблочно-паточного полуфабриката (%); x2 – влажность теста

(%) (табл. 18 – 19).

Вариант 7

Моделируются структурно-механические свойства кекса. В качестве функции отклика y принята общая деформация мякиша кекса (ед. прибора); в качестве независимых факторов x1 – коли- чество порошкообразного яблочно-паточного полуфабриката (%); x2 – влажность теста (%) (табл. 20 – 21).

70

Вариант 8

В задании моделируются структурно-механические свойства мякиша хлеба. В качестве функции отклика y принята общая де- формация сжатия мякиша хлеба (ед. прибора); в качестве незави- симых факторов x1 – твердость жирового продукта (%); x2 – коли- чество жирового продукта (%) (табл. 22 – 23).

Контрольные вопросы

1.Что такое основной уровень и интервалварьирования фактора?

2.Как проводят эксперимент согласно матрице планирова-

ния?

3.Как проверить воспроизводимость опытов при ПФЭ?

4.Как установить значимость коэффициентов уравнения регрессии?

5.Как установить адекватность уравнения регрессии?

6.С какой целью и как проводят рандомизацию опытов?

7.Как вычисляют коэффициенты уравнения регрессии?

8.Как выполняют построение матрицы планирования типа 2n?

71

Практическая работа № 7 ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Цель работы: 1) ознакомить с методом планирования экс- перимента; 2) овладеть практическими навыками статистической обработки результатов планирования эксперимента.

Рекомендуемая литература: [1, 2, 7].

Теоретические сведения

Анализируя матрицу планирования типа 2n, нетрудно заме- тить, что с увеличением числа факторов n количество опытов N для реализации полного факторного эксперимента резко возрас- тает. Уже для пяти факторов при реализации ПФЭ надо поста- вить 32 эксперимента. Если учесть, что каждый опыт дублирует- ся несколько раз (2 – 5), то ясно, что количество экспериментов при осуществлении ПФЭ достаточно велико.

Вместе с тем на первых этапах исследования часто нужно получить в первом приближении линейную аппроксимацию изу- чаемого уравнения при минимальном количестве экспериментов. Кроме того, в ряде случаев эффекты взаимодействия (вида b1b2, b1b2b3 и пр.) отсутствуют или пренебрежимо малы.

Это дает возможность использовать часть ПФЭ, которая называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ), что по- зволяет значительно экономить количество опытов при неболь- шой потере информации.

Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахож- дения математической модели в виде уравнения регрессии ис- пользуется определенная часть ПФЭ: 1/2, 1/4 и т. д. Матрицу та- кого эксперимента называют дробной репликой (табл. 1).

Для полуреплики от ПФЭ с тремя факторами количество экспериментов N = 23 – 1 = 4; для ситуации, в которой оценивают- ся шесть факторов,

1/2 ПФЭ → 26 – 1 = 32; 1/4 ПФЭ → 26 – 2 = 16; 1/8 ПФЭ → 26 – 3 = 8.

72

Например, для решения трехфакторной задачи можно огра- ничиться четырьмя вариантами варьирования, если в ПФЭ типа 23 произведение Х1Х2 (см. табл. 1) заменить третьей независимой переменной Х3. Такое планирование позволяет оценить свободный член и три коэффициента при линейных членах b1, b2 и b3 (табл. 2).

Применение ДФЭ всегда связано с совместной оценкой не- скольких коэффициентов уравнения связи (смешиванием). В на- шем примере, если коэффициенты регрессии при парных взаимо- действиях отличны от нуля, то каждый из найденных с помощью приведенного плана коэффициентов будет оценкой двух теорети- ческих коэффициентов:

73

Это происходит потому, что столбцы матрицы планирова- ния для линейных членов и соответствующих парных произведе- ний совпадают.

Следует отметить, что произвольное разбиение матрицы ПФЭ на дробные реплики недопустимо. Смешивание нужно про- изводить так, чтобы основные оценки были смешаны с взаимо- действиями самого высокого порядка или с теми из них, о кото- рых заранее известно, что они несущественны.

Приравнивая переменную различным произведениям (пар- ным, тройным и т. д. взаимодействиям), можно построить ДФЭ. При этом, естественно, система оценок будет различной. Обычно обозначают дробные реплики 2n – P, если P переменных приравне- ны к произведениям переменных.

Для анализа разрешающей способности дробных реплик пользуются такими понятиями:

–генерирующее соотношение. Служит для построения

дробной реплики. Например, в рассмотренном примере для ДФЭ типа 23 – 1 генерирующим соотношением является Х3 = Х1 Х2;

–определяющий контраст. Это соотношение, задающее

элементы первого столбца матрицы планирования для фиктивной

переменной Х0 (все они равны единице). Выражение определяю- щего контраста в рассмотренном примере для ДФЭ типа 23 – 1 по- лучается умножением левой и правой частей приведенного гене-

рирующего соотношения на Х3, т. е. Х1 Х2 Х3 = 1. Знание опреде-

ляющего контраста позволяет найти всю систему совместных оценок, не изучая матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно найти, последовательно умножая

независимые переменные на определяющий контраст. Разрешающая способность полуреплик определяется гене-

рирующими соотношениями, и она тем выше, чем больше порядок взаимодействий, с которыми смешаны линейные коэффициенты.

Например, для четвертьреплики в пятифакторном планиро- вании типа 25 – 2 (т. е. две переменные приравнены произведени- ям) могут быть заданы следующие генерирующие соотношения:

Х4 = Х1Х2Х3; Х5 = Х1Х2. При этом предполагается , что b123 = b12 = 0. Определяющими контрастами для этой реплики, согласно

приведенному выше правилу, будут соотношения 1 = Х1 Х2 Х3 Х4

и 1 = Х1 Х2 Х5.

74

В случаях, когда для дробной реплики имеют место два и более определяющих контраста, их необходимо перемножить между собой, используя все возможные комбинации. В нашем примере есть лишь одна комбинация: 1 = Х3 Х4 Х5. Это соотноше- ние называется обобщающим определяющим контрастом. Оно полностью характеризует разрешающую способность реплик вы- сокой степени дробности. Совместные оценки здесь будут нахо- дить, например, соотношениями: Х0 = Х1 Х2 Х3 Х4 = Х1 Х2 Х5;

Х1 = Х2 Х3 Х4 = Х2 Х5 = Х1 Х3 Х4 Х5 и т. д., а смешиваемые теоре- тические коэффициенты:

После составления (выбора) плана ДФЭ приступают к его реализации и математической обработке результатов. Проведение эксперимента, проверка воспроизводимости, расчет коэффициен- тов уравнения, установление их значимости и определение адек- ватности полученного уравнения регрессии полностью совпада- ют с процедурой, применяемой в ПФЭ.

Контрольные вопросы

1.Что такое генерирующее соотношение?

2.Как осуществляется построение плана дробного фактор- ного эксперимента?

3.Что представляет собой дробная реплика?

4.Какие недостатки присущи дробному факторному экспе- рименту?

5.Что такое определяющий контраст?

6.В каких случаях прибегают к проведению дробного фак- торного эксперимента?

7.Возможно ли произвольное разбиение матрицы полного факторного эксперимента на дробные реплики?

8.В чем заключается обработка результатов дробного фак- торного эксперимента?

75

Практическая работа № 8 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МОДЕЛИ, ПОЛУЧЕННОЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Цель работы: овладеть практическими навыками аналити-

ческой и геометрической интерпретации уравнения регрессии первого порядка.

Рекомендуемая литература: [1, 2, 7].

Теоретические сведения

По результатам планирования эксперимента строится урав-

нение регрессии первого порядка

y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 + ...+ bn X n + b12 X1 X 2 + ...+ b(n−1)n X n−1 X n , (1)

в котором коэффициенты b1, b2, . . ., bn называются линейными эффектами, а коэффициенты b12, b13, . . ., b(n-1) n – эффектами взаи- модействия.

Коэффициенты вида b12, b13 и т. д. – эффект взаимодействия первого порядка; коэффициенты вида b123, b134 и т. д. – эффект взаимодействия второго порядка. Вообще эффект взаимодейст- вия максимального порядка в ПФЭ или ДФЭ имеет значение, на единицу меньшее числа факторов.

Полное число всех возможных эффектов, включая b0, ли- нейные эффекты и взаимодействие всех порядков, равно числу опытов ПФЭ.

Математическую модель в виде уравнения регрессии пер- вого порядка можно интерпретировать следующим образом:

1. Знак, стоящий перед коэффициентом bi, указывает на ха- рактер изменения функции отклика при уменьшении или увели- чении значения фактора Xi. Если коэффициент bi имеет знак “+”, то с увеличением значения фактора Xi значение функции отклика возрастает, а если знак “–” – значение функции отклика уменьша- ется и наоборот.

76

2.Коэффициент b0, входящий в уравнение (1), показывает значение функции отклика y на основном уровне (т. е. в точке факторного пространства с координатами X1 = X2 = . . . = Xn = 0).

3.Коэффициенты b1, b2, . . ., bn при независимых перемен- ных X1, X2, . . ., Xn указывают на силу влияния каждого фактора в от- дельности на функцию отклика y: чем больше значение коэффициен-

та bi (по модулю), тем большее влияние оказывает данный фактор Xi на функцию отклика. Величина коэффициента bi соответствует вкладу данного фактора Xi в величину функции отклика при пе- реходе с основного уровня на верхний или нижний.

Уравнение регрессии вида (1) позволяет прогнозировать (рассчитать) значение функции отклика y при интересующих зна-

чениях факторов Xi. При этом в ходе расчета в уравнение (1) под- ставляют кодированные значения факторов, что не всегда являет- ся удобным.

Следует отметить, что иногда в уравнении регрессии целе- сообразно перейти от кодированных переменных к натуральным.

Кодированное значение фактора Xi связано с натуральным значением xi соотношением

где xi0 – натуральное значение i–го фактора на основном уровне;

εi – интервал варьирования i–го фактора.

После подстановки выражения (2) в уравнение (1) с учетом несложных преобразований можно получить уравнение регрес- сии с натуральными переменными. Это позволит исследователю

избавиться от необходимости всякий раз переводить условия опытов в кодированные значения.

Уравнение (1) позволяет геометрически интерпретировать результаты планирования эксперимента. Известно, что графиче- ски можно показать только непрерывную связь между двумя пе- ременными. Зависимость функции отклика от большего числа аргументов можно изобразить дискретно или непрерывно, но в искаженном виде с помощью аксонометрических построений.

77

Рис. 2. Частные зависимости: а - y = f(X1) при X2 = const;

б - y = f(X2) при X1 = const

78

Пример

Для изучения зависимости формоустойчивости тестовой заготовки при расстойке y (усл. ед.) от продолжительности x1 (мин) и температуры расстойки x2 (°С) был проведен полный факторный эксперимент типа 22, характеристики которого пред- ставлены в табл. 1. При проведении эксперимента использовали рандомизацию, каждый опыт дублировали 5 раз.

Была проведена статистическая обработка результатов ПФЭ, которая показала воспроизводимость опытов и позволила построить уравнение регрессии первого порядка, адекватно опи-

сывающее экспериментальные данные

y = 5,06 + 0,52X1 + 0,75X 2 .

Полученную математическую модель можно интерпрети- ровать следующим образом:

1. Формоустойчивость тестовой заготовки в процессе рас- стойки составляет 5,06 усл. ед. при продолжительности расстой- ки 45,0 мин и температуре расстойки 36,0 °С.

2.Температура расстойки (фактор X2) оказывает большее влияние на формоустойчивость тестовой заготовки, чем продол- жительность расстойки (фактор X1).

3.Увеличение продолжительности и температуры расстой-

ки способствуют росту формоустойчивости тестовой заготовки и наоборот.

Представим полученное уравнение регрессии в натуральном виде. Для этого, используя формулу (2), натуральные значения фак-

торов на основном уровне и интервалы варьирования запишем

79