MODELIROVANIE_metodichka

Зависимость (1) позволяет заменить несколько параметров оптимизации одним. Под «желательностью» d понимают тот или иной желательный уровень параметра оптимизации. Величина d может меняться от 0 до 1 в соответствии с приведенной ниже шкалой:

d =1,00 – максимально возможный уровень параметра оп- тимизации, которого не всегда следует добиваться;

d =1,00 ÷ 0,80 – допустимый и высокий уровень параметра, которого также не всегда следует добиваться;

d = 0,80 ÷ 0,60 – допустимый и хороший уровень параметра (но все же выше того, которого реально добиваются);

d = 0,60 ÷ 0,37 – допустимый и достаточный уровень пара-

метра;

d = 0,37 – заданный уровень параметра (соответствует то- му значению параметра оптимизации, которое необходимо полу- чить);

d = 0,37 ÷ 0 – недопустимый уровень параметра;

d = 0 – максимально нежелательный уровень параметра. Значения d можно смещать вверх или вниз по шкале жела-

тельности в зависимости от конкретной ситуации.

Идея использования функции желательности в качестве па- раметра оптимизации заключается в том, что значение каждого из параметров оптимизации yi , которых в задаче может быть

сколь угодно много, переводятся в соответствующие желательно- сти di, после чего формируется обобщенная функция желательно- сти D вида (1).

Существует два варианта перевода значений параметров оптимизации в соответствующие желательности в зависимости от вида ограничения для данного параметра оптимизации.

Если к параметру предъявляются односторонние ограниче- ния сверху или снизу (например, масса оборудования не более такой-то величины или производительность не ниже такого-то значения), то функция желательности имеет вид

140

где yi′ – некоторая безразмерная величина, линейно связанная с параметром оптимизации yi .

Если ограничения у параметров оптимизации двусторон- ние, т. е. имеют вид ymin £ y £ ymax , то функция желательности

Показатель степени n вычисляют, задавшись значением d (предпочтительно в интервале 0,6 ≤ d ≤ 0,9 ), с последующим рас-

четом yi′ по выражению (4). Затем пользуются выражением

Выбирая разные значения n, можно задавать различную кривизну кривой желательности. Это обстоятельство позволяет учесть особую важность отдельных параметров оптимизации: для них n будет иметь большее значение, и малому изменению пара- метра оптимизации вблизи ограничивающих пределов будет со- ответствовать резкое изменение желательности.

В случае односторонних ограничений у параметра оптими- зации вида y £ ymax или y ³ ymin может быть использована сле-

дующая характеристика

141

где q – количество параметров оптимизации; ai – коэффициенты «веса» параметров оптимизации; yi – i-й параметр оптимизации; yi0 – заданное (желаемое) значение параметра оптимизации.

В том случае, когда величины всех параметров совпадают со своими заданными значениями, Y = 0. Следовательно, чем ближе к нулю, тем лучше оптимизирован объект.

Пример

Требуется создать секционный подогреватель со следую- щими параметрами: площадь поверхности теплообмена y1 не ме- нее 50 м2 и не более 85 м2; масса y2 не более 4000 кг; коэффици- ент теплопередачи y3 не менее 2000 Вт/(м2×К); потери напора на преодоление гидравлических сопротивлений y4 не более 0,3 МПа.

Таким образом, в одном случае ограничения на параметры подогревателя двусторонние: 50 £ y1 £ 85 ; а в трех – односторон-

ние: y2 £ 4000 ; y3 ³ 2000 ; y4 £ 0,3.

Исследованию на математической модели подверглись шесть вариантов конструкции подогревателей. Результаты моде- лирования приведены в табл. 1. Указанные в ней значения пара- метров подогревателя переводим в соответствующие желатель- ности di в следующей последовательности.

Для параметра y1 (площадь поверхности теплообмена) с двусторонним ограничением рассчитываем d1 по уравнению (3).

Предварительно определяем yi′ и n по выражениям (4) и (5). Для

этого задаемся значением площади поверхности теплообмена y1 = 60 м2, чему по шкале желательности соответствует d1 = 0,8.

Тогда безразмерная величина и показатель степени соста- вят, соответственно

y1¢ = 2 × 60 --(85 + 50) = -0,43 ; 85 50

ln ln 1

n = ln - 0,430,8 =1,78 .

142

После этого уравнение (3) примет вид

d1 = exp[− (yi′ )1,78 ].

Подставляя в него значения y′ (от – 4 до + 4), получим

данные (табл. 2), которые используем для построения графика функции желательности при двусторонних ограничениях на па- раметр оптимизации (кривая 1 на рис. 1).

143

Аналогично, подставляя значения y′ (от – 4 до + 4) в вы-

ражение (2), получим данные (табл. 3), для построения графика функции желательности при односторонних ограничениях на па- раметр оптимизации (кривая 4 на рис. 2).

Далее устанавливаем связь между yi и yi′ с помощью ре-

перных точек. Например, по условию задачи необходимо, чтобы масса подогревателя была не более 4000 кг (y2 = 4000). По шкале желательности это будет соответствовать d = 0,37 (требуемая ве- личина параметра оптимизации). Значению d = 0,37 см. рис. 2 соответствует y′ = 0 . Если удастся создать подогреватель с той

же поверхностью теплообмена, но с меньшей массой (например, y2 = 3000), то это будет соответствовать желательности d = 0,98 (высокий уровень параметра). См. рис. 2 этой величине d соот- ветствует y′ = 4 .

Реперные точки, установленные по две для каждого пара- метра, сведены в табл. 4.

144

Для параметра оптимизации y1 реперные точки устанавли- ваются автоматически. См. рис. 1 видно (показано стрелками), что y1max = 85 м2 имеет место при y1′ =1, а y1min = 50 м2 – при y1′ = -1. В обоих случаях d = 0,37 (требуемая величина параметра

оптимизации). Через реперные точки а и б (см. рис. 1) проведена прямая линия 2, по которой для каждого значения y1 графически определяется соответствующая желательность (аналогично пути, указанному стрелками).

Указанным выше методом построены прямые 1, 2 и 3 (см. рис. 2) для перевода в функции желательности соответствен- но параметров y2, y4 и y3.

Определенные графическим методом функции желательно- сти параметров y1 – y4 для всех подогревателей сведены см. табл. 1. Обобщенную функцию желательности для каждого подогревате- ля определяем по формуле (1). Например, для первого подогрева-

теля имеем

D1 = 40,37 × 0,50 × 0,32 × 0,86 = 0,475 .

Для остальных подогревателей расчет проводим аналогич- но (см. табл. 1).

Наибольшее значение обобщенная функция желательности имеет у подогревателя 2, так как ему принадлежит лучший набор всех частных параметров оптимизации (см. табл. 1), (рис. 3).

Таким образом, оптимальным по совокупности параметров следует признать подогреватель 2.

Наиболее худшим следует признать подогреватель 6, кото- рый характеризуется наиболее плохим набором частных пара- метров оптимизации.

146

1.В каких случаях оптимизации прибегают к обобщенной функции желательности?

2.Как рассчитать значение обобщенной функции жела- тельности?

3.В чем заключается сущность многокритериальной опти- мизации с использованием обобщенной функции желательности?

4.Как установить связь между значениями параметра оп- тимизации и его безразмерной величиной?

5.Какие ограничения могут быть наложены на частные критерии оптимизации?

147

Практическая работа № 16 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Цель работы: 1) ознакомить с методом наименьших квад- ратов; 2) овладеть практическими навыками статистической об- работки результатов эксперимента.

Рекомендуемая литература: [1, 2, 7, 9, 12].

Теоретические сведения

Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет строить парные зависимости вида y = f (x), линейные по параметрам или допускающие линеаризацию, т. е. приведение к линейному виду.

ние точек 1 – 3 на плоскости (рис. 1), так провести линию регрес- сии, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных зна-

чений yi от расчетных yiр вдоль оси Oy была минимальной. При

этом уравнение прямой линии, проходящей между точками 1 – 3,

имеет вид

148

где b0, b1 – коэффициенты уравнения регрессии.

Коэффициент b0 (свободный член уравнения) геометриче-

ски представляет собой расстояние от начала координат до точки пересечения прямой линии с ординатой, т. е. это отрезок, отсе- каемый прямой на оси ординат. Коэффициент b1 есть тангенс уг- ла наклона прямой к оси абсцисс.

Так как положение прямой линии в декартовой системе ко-

ординат на плоскости полностью определяется коэффициентами b0 и b1, то условие оптимизации можно сформулировать следую- щим образом: требуется определить такие значения коэффициен- тов b0 и b1, при которых сумма квадратов отклонений расчетных

значений функции отклика yiр от экспериментальных yi была бы

минимальна

i=1

Подставив уравнение (1) в условие (2), получим

F = åN [(b0 + b1xi )- yi ]2 = åN (b02 + 2b0b1xi + b12 xi2 - 2b0 yi -

149