MODELIROVANIE_metodichka
.pdfПорядок опытов рандомизировали посредством таблицы слу- чайных чисел, что исключает влияние неконтролируемых пара- метров на результаты эксперимента. Опыты в каждой точке мат- рицы выполняли два раза.
В результате статистической обработки эксперименталь- ных данных получены уравнения регрессии, адекватно описы- вающие при 5-ти % уровне значимости зависимости сопротивле- ния сдвигу вафельного листа относительно начинки y1 и удельно- го усилия резания вафель y2 от изучаемых факторов:
y1 = 2,0 + 0,04X1 + 0,076X 2 + 0,018X1 X 2 |
+ |
||
+ 0,0008X12 − 0,009X 22 ; |
|
|
(20) |
|
|
|
|
y2 =1,74 + 0,0128X1 − 0,3X 2 + 0,13X1 X 2 |
− |
||
− 0,0088X12 − 0,215X 22. |
|
|
(21) |
|
|
|
|
В канонической форме уравнение регрессии (20) после пре- |
|||
образования принимает вид |
|
|
|
Y = 1,81 + 0,01Z 2 − 0,0096Z 2 . |
(22) |
||
1 |
1 |
2 |
|
Поскольку канонические коэффициенты |
B11 |
и B22 , входя- |
щие в уравнении (22) имеют разные знаки, то поверхность откли- ка, описываемая уравнением (20), представляет собой гиперболи- ческий параболоид с характерной центральной точкой «мини-
макс», |
в которой функция |
отклика |
принимает |
значение |
Ys = 1,81 |
кПа. Координаты |
центра |
поверхности |
отклика |
X1s = −5,91 и X 2s = −1,7 находятся на значительном удалении от
области эксперимента. Двумерные сечения поверхности отклика, представленные в виде линий равного уровня y1 = const для об-
ласти эксперимента |
−1,41 ≤ Х1 ≤ +1,41 и |
−1,41 ≤ Х2 ≤ +1,41 |
, |
|
имеют вид парабол (рис. 5). |
|
|
|
|
Уравнение регрессии (21) в канонической форме имеет вид |
|
|||
Y = 1,702 + 0,0098Z 2 − 0,232Z 2 . |
(23) |
|||
2 |
1 |
2 |
|
|
180
Поскольку канонические коэффициенты B11 и B22 в урав-
нении (23) имеют разные знаки, то поверхность отклика, описы- ваемая уравнением (21), представляет собой гиперболический параболоид с характерной центральной точкой «минимакс», в которой функция отклика принимает значение Ys = 1,702 кПа.
Координаты |
центра поверхности отклика X1s = 3,589 и |
X2s = 0,384 |
находятся на значительном удалении от центра экс- |
перимента. Двумерные сечения поверхности отклика, представ- ленные в виде линий равного уровня y2 = const для области экс- перимента -1,41 £ Х1 £ +1,41 и -1,41 £ Х2 £ +1,41 имеют вид па-
рабол (рис. 6).
Задачу оптимизации решали в три этапа.
На первом этапе для поиска оптимальных параметров X1 и X 2 задачу оптимизации сформулируем так: необходимо найти такие значения независимых переменных X1 и X 2 , обеспечи- вающих условный экстремум (максимум) функции отклика y1 = f1(X1, X2 ), т. е. максимум сопротивления сдвигу вафельного листа относительно начинки. Значения независимых переменных X1 и X 2 при этом не должны выходить за область эксперимента,
границы которой определяются значениями факторов в звездных точках. Указанное ограничение аналитически может быть запи-
сано в виде выражения
ϕ(X1, X2 ) = X12 + X 22 = ρ 2 , |
(24) |
что в факторном пространстве (для случая двух независимых пе- ременных) представляет собой сферу с центром в центре экспе- римента и с радиусом ρ.
Таким образом, постановка задачи оптимизации аналитиче-
ски записывается как
ìy = 2,0 + 0,04X |
1 |
+ 0,076X |
2 |
+ 0,018X |
1 |
X |
2 |
+ |
|
|||
ï |
1 |
|
|
|
|
. |
(25) |
|||||
í+ 0,0008X12 |
- 0,009X 22 ® max, |
|
|
|
||||||||
ï |
|
|
2 |
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
î |
|
X1 |
+ X 2 = ρ |
|
|
|
|
|
|
181
|
|
|
Дозировка экструдата Х1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
2,02 |
2,04 |
2,06 |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2,0 |
|
|
|
|
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нутовой |
|
|
|
|
|
1,98 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
муки |
|
|
|
|
|
1,96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дозировка |
|
|
|
|
|
1,94 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,92
1,90
1,88
Рис. 5. Линии равного уровня сопротивления сдвига
вафельного листа относительно начинки y1 (числа на кривых – значения сопротивления сдвига, кПа)
169
Дозировка экструдата Х1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
||
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
нутовой |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
||
муки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дозировка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,9 |
1,8 |
1,7 |
1,6 |
Рис. 6. Линии равного уровня удельного усилия
резания вафель y2 (числа на кривых – значения удельного усилия резания, кН/м)
Поставленную задачу оптимизации (25) решим, используя метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этого соста-
вим целевую функцию вида
F(X1, X2 ,λ) = y1(X1, X2 )+ λϕ(X1, X2 ), |
(26) |
где λ – неопределенный множитель Лагранжа.
С учетом уравнения регрессии (20) и ограничение (24), ко- торое накладывается на независимые переменные, целевую функцию (26) представим как
|
F(X1, X 2 ,λ)= 2,0 + 0,04X1 + 0,076X 2 |
+ 0,018X1 X 2 + |
(27) |
||||||
|
+ 0,0008X12 - 0,009X 22 + λ(X12 + X 22 - ρ 2 ). |
||||||||
|
|
||||||||
|
Дифференцируя уравнение (27) по переменным X1 , |
X 2 и |
|||||||
λ, составим систему уравнений |
|
|
|||||||
ì |
¶F(X1, X 2 |
,λ) |
= 0,04 |
+ 0,018X 2 + 0,0016X1 |
+ 2λX1 = 0, |
|
|||
ï |
¶X1 |
|
|
||||||
ï |
,λ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
¶F(X1, X 2 |
= 0,076 + 0,018X1 - 0,018X 2 |
+ 2λX 2 = 0, . |
(28) |
|||||
í |
¶X 2 |
|
|||||||
ï |
¶F(X |
, X |
|
,λ) |
|
|
|
||
ï |
|
|
= X12 + X 22 - ρ 2 = 0. |
|
|||||
ï |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
||
î |
|
|
¶λ |
|
|
|
|
|
Для решения системы уравнений (28) с последующим вы-
числением значения функции отклика по уравнению регрессии (20) воспользуемся интегрированным математическим пакетом MAPLEW 8. Расчет проводим при изменении радиуса сферы в диапазоне от 0,8 до 1,6 с интервалом 0,2. Выбор диапазона 0,8 ≤ ρ ≤1,6 обусловлен тем, что y1 ® max при X1, X 2 ® max .
Результаты вычислений представлены в табл. 4.
169
|
|
Результаты оптимизации |
Таблица 4 |
||
|
|
|
|||
№ шага |
ρ |
X1 |
X2 |
λ |
y1, кПа |
1 |
0,80 |
0,46 |
0,65 |
-0,056 |
2,07 |
2 |
1,0 |
0,61 |
0,79 |
-0,045 |
2,08 |
3 |
1,2 |
0,74 |
0,94 |
-0,038 |
2,106 |
4 |
1,4 |
0,89 |
1,07 |
-0,033 |
2,125 |
5 |
1,6 |
0,99 |
1,12 |
-0,011 |
2,230 |
Как видно из результатов оптимизации (см. табл. 4) даль- нейшее продвижение по поверхности отклика, хотя и приводит к возрастанию параметра оптимизации, является невозможным, так как значения факторов выходят за границы области эксперимен- та. В связи с чем оптимальными значениями независимых пере- менных следует признать X1 = 0,89 и X 2 =1,07 , при которых
достигается условный экстремум (максимум) функции отклика y1 = 2,125 кПа.
На втором этапе для поиска оптимальных параметров X1 и X 2 задачу оптимизации сформулируем так: необходимо найти такие значения независимых переменных X1 и X 2 , обеспечи- вающих условный экстремум (минимум) функции отклика y2 = f2 (X1, X2 ), т. е. удельного усилия резания вафель. Значения независимых переменных X1 и X 2 при этом не должны выхо-
дить за область эксперимента, границы которой определяются значениями факторов в звездных точках.
По аналогии с условием (25) аналитически представим по-
становку задачи оптимизации
ìy =1,74 + 0,0128X |
1 |
- 0,3X |
2 |
+ 0,13X |
1 |
X |
2 |
- |
|||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
(29) |
|||||
í- 0,0088X12 |
- 0,215X 22 |
® min, |
|
|
|
||||||||
ï |
|
2 |
|
2 |
= ρ |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
î |
|
X1 + |
X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом уравнений (21) и (24) составим целевую функцию
170
|
|
F(X1, X 2 ,λ)=1,74 + 0,0128X1 − 0,3X 2 + 0,13X1 X 2 |
− |
(30) |
|||||||
|
|
- 0,0088X12 - 0,215X 22 + λ(X12 + X 22 - ρ 2 ). |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
Дифференцируя уравнение (30) по переменным |
X1 , |
X 2 и |
|||||||
λ, составим систему уравнений |
|
|
|||||||||
ì |
¶F(X1, X 2 ,λ) |
= 0,0128 |
+ 0,13X 2 - 0,0176X1 + 2λX1 = 0, |
|
|||||||
ï |
|
¶X1 |
|
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
¶F(X1, X 2 ,λ) |
= -0,3 |
+ 0,13X1 - 0,43X 2 + 2λX 2 = 0, |
. |
(31) |
|||||
í |
|
|
|
||||||||
|
¶X 2 |
|
|||||||||
ï |
|
(X |
, X |
|
,λ) |
|
|
|
|||
ï |
|
¶F |
|
= X12 + X 22 - ρ 2 = 0. |
|
|
|||||
ï |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
¶λ |
|
|
|
|
|
|
Систему уравнений (31) решаем при значении радиуса сфе- ры 1,41 (табл. 5). При этом для каждого фиксированного значе- ния ρ получаем несколько решений, поскольку поверхность от- клика имеет вид гиперболического параболоида. Выбор ρ =1,41
обусловлен тем, что по условию задачи оптимизации y2 ® min . Это достигается при X1 ® min и X 2 ® max , что следует из рас-
смотрения регрессионных коэффициентов, стоящих при линей- ных членах уравнения (21).
|
|
Результаты оптимизации |
Таблица 5 |
||
|
|
|
|||
№ шага |
ρ |
X1 |
X2 |
λ |
y1, кН/м |
1 |
1,41 |
-1,106 |
-0,88 |
-0,037 |
1,938 |
2 |
1,41 |
1,38 |
-0,306 |
0,0186 |
1,757 |
3 |
1,41 |
0,63 |
1,265 |
0,129 |
1,676 |
4 |
1,41 |
-0,29 |
1,38 |
0,337 |
0,856 |
Как видно из результатов оптимизации (см. табл. 5), оп- тимальными значениями независимых переменных следует при- знать результаты, полученные на 4 шаге X1 = -0,29 и X 2 =1,38 ,
при которых достигается условный минимум функции отклика y2 = 0,856 кН/м.
171
Следующим этапом оптимизации явился поиск оптималь- ных значений переменных X1 и X2 , при которых достигается
максимум y1 при некотором заданном значении y2.
Для решения поставленной задачи воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа. При этом будем искать
условный максимум функции отклика |
|
y1 = f1(X1, X2 ) при огра- |
|||||||||||||||||||||||||||
ничениях, накладываемых другой функцией |
y2 = f2 (X1, X2 ) и |
||||||||||||||||||||||||||||
областью эксперимента ϕ(X1, X2 ) = X12 + X 22 = ρ 2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Для этого составим целевую функцию |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
F(X1, X2 ,λ1,λ2 ) = y1(X1, X 2 )+ λ1y2 (X1, X 2 )+ λ2ϕ(X1, X 2 ). |
(32) |
||||||||||||||||||||||||||||
С учетом уравнений (20), (21) и ограничения (24) целевую |
|||||||||||||||||||||||||||||
функцию (32) представим как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
F(X1, X 2 ,λ1,λ2 ) = 2,0 + 0,04X1 + 0,076X 2 + 0,018X1 X 2 + |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
+ 0,0008X |
2 |
- 0,009X |
2 |
+ λ (1,74 + 0,0128X |
1 |
- 0,3X |
2 |
+ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(33) |
|||
|
+ 0,13X1 X 2 - 0,0088X12 - 0,215X 22 - y2 )+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
+ λ2 (X12 + X 22 - ρ2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Дифференцируя уравнение (33) по переменным X1 , |
X 2 , λ1 |
||||||||||||||||||||||||||||
и λ2, составим систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ì |
¶F(X |
|
, X |
|
,λ λ ) |
= 0,04 + 0,018X 2 + 0,0016X1 + |
|
|
|||||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
¶X1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 )+ 2λ2 X1 = 0, |
|
|
|
|||||
ï |
+ λ1 (0,0128 + 0,13Х 2 - 0,0176Х |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ï |
¶F(X |
, X |
|
,λ ,λ |
|
|
) |
= 0,076 + 0,018X1 |
- 0,018X 2 + |
|
|
|
|||||||||||||||||
ï |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ï |
|
¶X 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)+ 2λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ï+ λ (- 0,3 + 0,13Х |
1 |
- 0,43Х |
2 |
2 |
X |
2 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(34) |
||||
í |
¶F(X |
, X |
|
,λ ,λ |
|
|
) |
= 1,74 + 0,0128X1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ï |
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
- 0,3X 2 + 0,13X1 X 2 - |
|
||||||||||||||||
ï |
|
¶λ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï- 0,0088X12 - 0,215X 22 - y2 = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ï |
|
|
¶F |
(X |
|
|
, X |
|
,λ ,λ |
|
) |
= X12 |
+ X 22 - ρ 2 = 0. |
|
|
|
|||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶λ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
172
Ранее установлено, что одновременно y1 → max и y2 → min при значении радиуса сферы ρ = 1,41, поэтому поиск
условного экстремума проводим при указанном значении ρ. Сис- тему уравнений (34) решаем при изменении значения функции отклика y2 в диапазоне от 1,6 до 1,0 с интервалом 0,2 (табл. 6).
|
|
Результаты оптимизации |
|
Таблица 6 |
|||
|
|
|
|
||||
№ шага |
ρ |
X1 |
X2 |
λ1 |
λ2 |
y1, кПа |
y2кН/м |
1 |
1,41 |
-1,39 |
0,2 |
0,095 |
0,17 |
1,955 |
1,6 |
2 |
1,41 |
-1,3 |
0,53 |
0,09 |
0,02 |
1,97 |
1,4 |
3 |
1,41 |
-1,14 |
0,82 |
0,11 |
0,03 |
1,99 |
1,2 |
4 |
1,41 |
-0,87 |
1,1 |
0,17 |
0,05 |
2,02 |
1,0 |
Как видно из результатов оптимизации (см. табл. 6) наи- |
|||||||
лучшими ( y1 → max и |
y2 → min ) следует признать результаты, |
полученные на 4-м шаге. В связи с чем оптимальными значения- ми независимых переменных следует признать X1 = −0,87 и X2 = 1,1, при которых достигается условный экстремум функции отклика y1 = 2,02 кПа.
Переходя к натуральным переменным, имеем оптимальные значения дозировок экструдата x1 (%) и муки нутовой x2 (%) (табл. 7).
|
|
|
|
Таблица 7 |
|
Оптимальные режимы приготовления вафель |
|||
Дозировка |
|
Дозировка |
Сопротивление сдви- |
Удельное усилие |
|
га вафельного листа |
|||
экструдата |
|
муки нутовой |
резания вафель |
|
|
относительно начин- |
|||
x1, % |
|
x2, % |
y2, кН/м |
|
|
ки y1, кПа |
|||
13,83 |
|
92,28 |
2,02 |
1,0 |
Следующим этапом работы явилась экспериментальная проверка найденных оптимальных параметров и оценка степени точности и надежности полученных значений параметров опти- мизации.
При оптимальных значениях x1 = 13,83 %; x2 = 92,28 % бы- ли изготовлены образцы изделий (n = 10 шт.), для которых опре- деляли сопротивление сдвига вафельного листа относительно на-
173
чинки y1 и удельное усилие резания вафель y2. В табл. 8 пред- ставлены средние арифметические значения указанных парамет- ров yэ и дисперсии S2, полученные по результатам 10-ти парал- лельных опытов.
Как видно из табл. 8, расчетные и экспериментальные зна-
чения параметров оптимизации несколько отличаются друг от друга. Для того, что бы эти различия признать несущественными и объяснить только случайной ошибкой, была выдвинута нуль- гипотеза о том, что расчетные и экспериментальные значения
каждого параметра оптимизации принадлежат к одной и той же генеральной совокупности.
Для проверки выдвинутой нуль-гипотезы воспользуемся распределением Стьюдента. При этом для каждого параметра оп-
тимизации вычисляем расчетное значение критерия Стьюдента (см. табл. 8)
tр = |
yэ − yр |
|
|
|
||
|
n . |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
S 2 |
Сравнение каждого значения tр с табличным значением критерия Стьюдента tт = 2,29 (при числе степеней свободы f = 9 и принятой доверительной вероятности γ = 95 %), показывает для каждого параметра оптимизации выполняется условие tр < tт .
Это указывает на то, что выдвинутая нуль-гипотеза может быть принята, т. е. различия между расчетным и экспериментальным
значениями каждого параметра оптимизации следует признать несущественными (с доверительной вероятностью 95 %) и объяс- нить только случайной ошибкой.
Ошибку предсказания значения параметра оптимизации δ
определяли по формуле
δ = |
t |
т |
S 2 |
||
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
174
Результаты вычислений по каждому параметру оптимиза- ции представлены в табл. 8 в виде доверительных интервалов
yр ± δ при принятой доверительной вероятности γ = 95 %.
|
|
|
Результаты оптимизации |
|
Таблица 8 |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
Значение |
|
р |
|
|
|
|
|
|
параметра |
|
t |
|
|
Доверительный интервал |
|
Параметр оптимизации |
Расчетноеy |
Эксперимен- тальноеy |
Дисперсия S |
Расчетноезначение Стьюдентакритерия |
|
Ошибкаδ |
||
|
|
оптимизации |
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
э |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сопротивление |
|
|
|
|
|
|
|
|
сдвига |
вафель- |
|
|
|
|
|
|
1,97÷2,07 |
ного листа отно- |
2,02 |
2,063 |
0,0046 |
2,00 |
|
0,049 |
||
сительно |
начин- |
|
|
|
|
|
|
|
ки y1, кПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
Удельное усилие |
|
|
|
|
|
|
0,951÷1,05 |
|
резания |
вафель |
1,0 |
1,045 |
0,0045 |
2,12 |
|
0,049 |
|
y2, кН/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из результатов табл. 8, экспериментальные зна- чения параметров оптимизации не выходят за границы соответст- вующих доверительных интервалов, полученных расчетным пу- тем, что указывает на достоверность и надежность полученных результатов.
175