MODELIROVANIE_metodichka

Q2 = 21×3å2 Yj2 = 21×3(4122,42 +21132 )=3576491,8 .

j=1

Расчет суммы квадратов итогов (сумм) по столбцам, делен- ной на число наблюдений в столбце, проводим по (5)

Q3 = 21×3å2 Yj¢2 = 21×3(3408,12 +2827,32 )=3268128,5 .

g=1

По формуле (6) вычисляем сумму квадратов итогов (сумм) по сериям, деленную на число наблюдений в серии,

Квадрат общего итога (суммы), деленный на число всех на- блюдений, определяем по формуле (7)

По формулам (8 – 12) определяем суммы квадратов отклоне-

ний

Число степеней свободы:

f0 = M -1 = u1u2m -1 = 2 × 2 × 3 -1 =11; fε = u1u2 (m -1)= 2 × 2(3 -1)= 8 ;

50

fx1 = u1 −1 = 2 −1 =1; fx2 = u2 −1 = 2 −1 = 1;

fx1x2 = (u1 − 1)(u2 −1)= (2 −1)(2 −1)=1.

Оценки дисперсий определяем по формулам (13 – 17) как от- ношение каждой суммы квадратов отклонений к соответствую- щему числу степеней свободы:

Для оценки существенности влияния факторов х1, х2 и их взаи- модействия х1х2 на выходную величину y по формулам (18 – 19) оп- ределяем расчетные значения критериев Фишера:

Сравниваем расчетные значения критерия Фишера с таб- личным: Fр1 > Fт и Fр2 < Fт, следовательно, влияние фактора х1 следует признать существенным, а влиянием фактора х2 можно пренебречь (табл. 3).

51

Вместе с тем реальный процесс смешивания протекает при совместном влиянии факторов х1 и х2 (одновременное дозирова- ние сыпучих и жидких компонентов), в связи с чем к рассмотре- нию следует принять их совместное влияние х1х2.

Табличное значения критерия Фишера при уровне значи-

Сравниваем расчетное значения критерия Фишера с таб- личным: Fр12 > Fт, следовательно, влияние взаимодействия фак- торов х1х2 следует признать существенным.

Таким образом, результаты двухфакторного дисперсионно- го анализа позволяют сделать вывод о том, что способ дозирова-

ния жидких и сыпучих рецептурных компонентов в смеситель при периодическом способе приготовления помадной массы по-

рошковой технологии существенно влияет на затраты удельной работы смешивания. Указанный факт следует учитывать в произ- водственных условиях при приготовлении помадной массы по- рошковой технологии.

Задание

Необходимо оценить влияние стекловидности зерна пше- ницы и механических факторов (комбинации системы помола) на выход муки высоких сортов.

Стекловидный фактор x1 варьировался на двух уровнях: на первом уровне (j = 1) стекловидный фактор имел значение x1 = 40 %, на втором уровне (j = 1) – x1 = 58 %. Сортовой помол x2 был трех разновидностей. Для каждой комбинации уровней варьиро-

52

вания факторов было выполнено по три повторных наблюдения выхода муки y, %, значения которых представлены в табл. 3.

Выполнить статистическую обработку результатов много- факторного дисперсионного анализа, оценив влияние каждого фактора на выход муки высоких сортов.

Контрольные вопросы

1.Как формируется матрица наблюдений для проведения многофакторного дисперсионного анализа?

2.На какие составляющие раскладывается оценка «общей дисперсии» в двухфакторном дисперсионном анализе?

3.Каким образом производят оценивание существенности влияния факторов изменчивости и их взаимодействия в много- факторном дисперсионном анализе?

4.Как в двухфакторном дисперсионном анализе формиру- ются оценки дисперсий рассеиваний: «общего», «внутри серий», «между строками», «между столбцами», «между сериями»?

5.В чем заключается основная идея метода дисперсионно- го анализа?

6.Влияет ли изменение диапазонов варьирования изучае-

мых факторов на результаты многофакторного дисперсионного анализа?

7.Из каких составляющих складывается оценка «общей» дисперсии случайной величины?

8.Какой статистический критерий используют для оценки влияния факторов на изучаемый технологический процесс?

53

Практическая работа № 6 ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Цель работы: 1) ознакомить с методом планирования экс- перимента; 2) овладеть практическими навыками статистической обработки результатов планирования эксперимента.

Рекомендуемая литература: [1, 2, 7, 11].

Теоретические сведения

Метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) позволяет получить математическое описание исследуемого процесса в некото- рой локальной области факторного пространства, лежащей в окрест- ности выбранной точки 01 с координатами ( x01 , x02 ,..., x0n ) (рис. 1).

Перенесем начало координат факторного пространства в точку 01. С этой целью введем новые переменные Xi, называемые кодиро- ванными переменными. Функцию отклика в окрестности нового начала координат разложим в ряд Тейлора:

54

При этом, как правило, ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведения факторов в первой степени. Таким образом, удается находить уравнение ло- кального участка поверхности отклика, если его кривизна не слишком велика.

Следует отметить, что коэффициенты искомого уравнения определяются на основе экспериментальных данных и, следова- тельно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо сим- волов β , обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут

b , подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки. Итак, с помощью ПФЭ ищут математическое описание

процесса в виде уравнения:

y = b0 + b1 X1 + b2 X 2 + ...+ bn X n + b12 X1 X 2 + ...+ b(n−1)n X n−1 X n , (2)

которое называют уравнением регрессии, а входящие в него ко- эффициенты – коэффициентами регрессии (линейные эффекты).

Решение задачи планирования эксперимента начинают с выбора области эксперимента, в которой устанавливают основ- ные уровни и интервалы варьирования факторов.

Основным, или нулевым, уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Сочетание

основных уровней принимают за исходную точку для построения плана эксперимента, состоящего из экспериментальных точек, симметричных относительно центра плана.

Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уров- ню дает верхний уровень фактора, а вычитание – нижний.

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе ПФЭ варьируют на двух уровнях, соответствую- щих значениям кодированных переменных +1 и – 1.

Кодированные значения фактора определяют по выражению

55

где xi – натуральное значение i–го фактора; xi0 – натуральное зна-

чение i–го фактора на основном уровне; εi – интервал варьирова- ния i–го фактора.

Таким образом, ПФЭ называется система опытов, содер-

жащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

Число опытов ПФЭ определяется выражением

где n – число факторов.

Для ПФЭ типа 22 уравнение регрессии имеет вид

Полный факторный эксперимент осуществляют с помощью матрицы планирования, вид которой для двухфакторного ПФЭ типа 22 приведен в табл. 1.

Уравнение регрессии для ПФЭ типа 23 имеет вид

В табл. 2 приведены условия опытов полного трехфактор- ного эксперимента. Эти опыты соответствуют в факторном про- странстве вершинам куба с центром в начале координат.

Число строк в матрице планирования равно количеству опытов. Знаками +1 и – 1 представлены значения факторов на верхнем и нижнем уровнях. Значения функции отклика (выход- ного параметра), полученные по результатам опытов, обозначены как y1, y2, y3, y4 и т.д. При увеличении числа факторов количество возможных сочетаний уровней резко возрастает.

Основной прием построения матрицы планирования типа 2n базируется на смене знаков (табл. 3). В первом столбце (X1) знаки идут попеременно, во втором (X2) они чередуются через 2, в третьем (X3) – через 4, в четвертом (X4) – через 8 и т. д., т. е. по степеням двойки.

Можно вывести основные принципы построения матриц ПФЭ (см. табл. 1 – 3): уровни варьирования первого фактора че- редуются от опыта к опыту; частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора вдвое меньше, чем у предыдущего.

57

Матрица планирования ПФЭ обладает следующими свойствами:

j=1

где N – число опытов полного факторного эксперимента; j – но- мер опыта; i, l, m – номер фактора.

Свойство, выраженное уравнением (9), называется ортого- нальностью. Поэтому говорят, что матрица ПФЭ ортогональна. Свойства (7 – 9) позволяет вычислять коэффициенты регрессии по простым формулам независимо друг от друга.

После выбора плана эксперимента, основных уровней и ин- тервалов варьирования факторов переходят к эксперименту в со- ответствии с составленной ранее матрицей планирования.

58

Чтобы компенсировать влияние случайных погрешностей, каждый опыт рекомендуется повторить k раз. Обычно число k параллельных опытов принимают равным 2 – 5 (табл. 4).

Для каждой серий параллельных опытов находят среднее арифметическое значение функции отклика

где k – число параллельных опытов, проведенных в одинаковых условиях; j – номер опыта (j=1, 2, …, N); i – номер параллельного опыта (i=1, 2, …, k).

Затем вычисляют оценку дисперсии для каждой серии па-

раллельных опытов

Для проверки воспроизводимости опытов находят отноше- ние наибольшей из оценок дисперсий к сумме всех оценок дис- персий (расчетное значение критерия Кохрена):

59