MODELIROVANIE_metodichka
.pdf
Далее сравнивают между собой результаты опытов в вер- шинах нового симплекса, отбрасывают самый «неудачный» из них и переносят соответствующую вершину симплекса в точку 5. Затем рассмотренная процедура повторяется в течение всего про- цесса оптимизации.
X2 |
|
Если достигнут экс- |
||||
тремум критерия |
опти- |
|||||
|
|
|||||
|
|
мальности, то дальнейшее |
||||
|
|
движение симплекса пре- |
||||
|
|
кращается. Это значит, |
||||
|
|
что новый шаг возвраща- |
||||
|
|
ет исследователя в пре- |
||||
|
|
дыдущую |
точку |
фактор- |
||
|
|
ного пространства. |
||||
|
|
|
Следует иметь в ви- |
|||
|
X1 |
ду, что симплексный ме- |
||||
|
тод, |
так же, как и метод |
||||
|
|
«крутого |
восхождения», |
|||
|
Рисунок. Оптимизация |
|||||
|
является локальным мето- |
|||||
|
по симплекс-методу |
|||||
|
дом |
поиска экстремума. |
||||
|
|
|||||
|
|
|||||
При наличии нескольких экстремумов критерия оптимальности этот метод позволяет найти тот из них, который расположен ближе к точкам исходного симплекса. Поэтому если есть предположение о существовании нескольких экстремумов, то нужно их отыскать,
каждый раз начиная оптимизацию из новой области факторного пространства. Затем следует сравнить между собой найденные оп- тимальные условия и из всех вариантов выбрать наилучший.
При оптимизации необходимо принимать во внимание ог- раничения, наложенные на факторы и функции отклика.
Важно отметить, что при использовании симплексного ме- тода необязательно дублировать опыты. Дело в том, что ошибка в отдельном опыте может только несколько замедлить оптимиза- цию. Если же последующие опыты выполняются безупречно, то движение к оптимуму продолжается.
Условия исходного симплекса в кодированных переменных приведена в табл. 1. Символом «0» обозначены координаты цен- тра плана, т. е. основной уровень.
90
|
|
Матрица исходного симплекса |
Таблица 1 |
|||
|
|
|
||||
№ опыта |
X1 |
X2 |
. . . |
Xn-1 |
Xn |
Функция |
отклика |
||||||
1 |
k1 |
k2 |
. . . |
kn-1 |
kn |
y1 |
2 |
-R1 |
k2 |
. . . |
kn-1 |
n |
y2 |
3 |
0 |
-R2 |
. . . |
kn-1 |
kn |
y3 |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
n-1 |
0 |
0 |
. . . |
kn-1 |
kn |
yn-1 |
n |
0 |
0 |
. . . |
-Rn-1 |
kn |
yn |
n+1 |
0 |
0 |
. . . |
0 |
-Rn |
yn+1 |
Величины, входящие в эту таблицу, рассчитывают по сле- дующим формулам:
ki = |
|
1 |
|
, |
(1) |
|
2i(i +1) |
||||||
|
|
|
|
|||
Ri = iki . |
|
(2) |
||||
где i – номер фактора в матрице планирования.
Опыты, представленные см. табл. 1, соответствуют верши- не симплекса, сторона которого равна единице, а центр совпадает с началом координат (в кодированных переменных).
Результаты расчетов для четырех факторов, выполненных на оснований формул (1) и (2), приведены в табл. 2. Аналогично мож- но вычислить условия исходной серии опытов для большего ко- личества факторов.
|
|
Условия начальной серии опытов |
Таблица 2 |
||
|
|
|
|||
№ опыта |
X1 |
|
X2 |
X3 |
X4 |
1 |
0,5 |
|
0,289 |
0,204 |
0,158 |
2 |
- 0,5 |
|
0,289 |
0,204 |
0,158 |
3 |
0 |
|
- 0,578 |
0,204 |
0,158 |
4 |
0 |
|
0 |
- 0,612 |
0,158 |
5 |
0 |
|
0 |
0 |
- 0,632 |
Очевидно, наибольшее количество опытов приходится ста- вить в начале эксперимента. Затем на каждом шаге оптимизации выполняется только один опыт.
91
Приступая к оптимизации, с помощью см. табл. 1 или 2
рассчитывают матрицу исходной серии опытов в физических переменных по формуле
xi = xi0 + εi X i , |
(3) |
где использованы обозначения, принятые в практической работе № 6.
В дальнейшем все операции производят только с физическими переменными.
Условия каждого нового опыта находят по формуле
|
2 |
æ n+1 |
* |
ö |
* |
xi = |
|
ç |
|
÷ |
- xi , |
n |
çåx ji - xi |
÷ |
|||
|
è j=1 |
|
ø |
|
|
где n – число факторов в матрице планирования; j – номер опы- та; i – номер фактора; xi* – значение i-го фактора в самом “не-
удачном” опыте предыдущего симплекса.
Следует отметить, что на любом шаге оптимизации, осуще- ствляемой симплексным методом, можно включить в программу исследований новый фактор, который до тех пор не принимался во внимание, но оставался на постоянном уровне. При этом значения
всех ранее рассматриваемых факторов рассчитывают по формуле
1 n+1
xi = n +1 åj=1 x ji ,
где i = 1, 2, . . . , n, т. е. являются средними арифметическими зна- чениями соответствующих координат предыдущего симплекса.
Значение вновь вводимого фактора определяют по формуле
xn+1 = x0(n+1) + Dxn+1 (Rn+1 + kn+1 ),
где x0(n+1) – основной уровень этого фактора; xn+1 – выбранный шаг варьирования для данного фактора; Rn+1, kn+1 – величины, рас-
считываемые по формулам (1) и (2).
92
Отметим, что добавление нового фактора в состав ПФЭ со- провождается увеличением количества опытов вдвое. В этом смысле симплексный метод имеет очевидное преимущество.
Пример
С целью оптимизации процесса брожения теста, готовив- шегося по рецептуре хлеба «Орловского», было проведено сим- плекс-планирование. В качестве независимых переменных, влияющих на процесс брожения теста, использованы факторы: х1 – температура теста (°С), х2 – кислотность закваски (град), х3 – ко- личество патоки (%), х4 – количество закваски (%) (табл. 3). В качестве критерия оптимальности y принят показатель качества
(ед.).
|
Характеристики плана |
|
Таблица 3 |
||
|
|
|
|||
Параметр |
|
х1, °С |
х2, град |
х3, % |
х4, % |
Основной уровень |
|
32,0 |
9,5 |
12,0 |
28,0 |
Интервал варьирования |
|
5,0 |
1,5 |
4,0 |
7,0 |
Пользуясь формулой (3) и см. табл. 2, рассчитаем условия
проведения первых пяти опытов и полученные результаты сведем в табл. 4. Так, для первого опыта
х11 = 32,0 + 5,0×0,5 = 34,5 ; |
|
х21 |
= 9,5 +1,5×0,289 = 9,934 ; |
х31 = 12,0 + 4,0×0,204 = 12,816 |
; |
х41 |
= 28,0 + 7,0×0,158 = 29,106 . |
Для остальных опытов |
проводим аналогичные вычисления. |
||
Здесь первый индекс обозначает номер опыта, а второй – номер фактора.
|
Определим координаты шестого опыта: |
||
Х16 |
= 2 ×0,125 - (- 0,5) = 0,75 ; |
х16 |
= 32,0 + 0,75×5 = 35,75 ; |
Х 26 |
= -0,145 - 0,286 = -0,444 ; |
х26 |
= 9,5 - 0,444×1,5 = 8,838 ; |
Х36 |
= -0,102 - 0,204 = -0,306 ; |
х36 |
= 12,0 - 0,306×4 = 10,776 ; |
Х 46 |
= -0,079 - 0,158 = 0,237 ; |
х46 |
= 28,0 - 0,237×7 = 26,341 . |
|
Реализуя (n+2)–й опыт, |
получаем результат y6 = 44 ед. |
|
93
|
|
|
|
Оптимизация симплекс-методом |
|
|
|
Таблица 4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I |
1-й фактор |
2-й фактор |
3-й фактор |
4-й фактор |
Целевая функция yi |
||||||
|
x1i |
X1i |
x2i |
X2i |
x3i |
X3i |
x4i |
X4i |
1-й шаг |
2-й шаг |
3-й шаг |
1 |
0,5 |
34,5 |
0,289 |
9,934 |
0,204 |
12,816 |
0,158 |
29,106 |
32,0 |
32,0 |
32,0 |
2 |
-0,5 |
29,5 |
0,289 |
9,934 |
0,204 |
12,816 |
0,158 |
29,106 |
28,0 |
- |
- |
3 |
0 |
32,0 |
-0,576 |
8,632 |
0,204 |
12,816 |
0,158 |
29,106 |
40,0 |
40,0 |
40,0 |
4 |
0 |
32,0 |
0 |
9,500 |
-0,612 |
9,552 |
0,158 |
29,106 |
36,0 |
36,0 |
36,0 |
5 |
0 |
32,0 |
0 |
9,500 |
0 |
12,000 |
-0,632 |
23,576 |
30,0 |
30,0 |
- |
6 |
0,75 |
35,75 |
-0,444 |
8,838 |
0,306 |
10,776 |
-0,237 |
26,341 |
- |
44,0 |
44,0 |
7 |
0,65 |
35,125 |
-0,370 |
8,945 |
0,255 |
10,980 |
0,751 |
33,257 |
- |
- |
49,0 |
89
Рассмотрим симплекс из (n+1) опытов, не включая в него второй опыт, который дал наихудший результат:
Х17 |
= |
0,5 + 0,75 |
- 0 = 0,625 ; |
|
х17 = 35,125. |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
- 0,576 - 0,434 |
|
|
|
|
|||
Х 27 |
= |
0,289 |
- 0 = -0,37 ; |
х27 |
= 8,0945; |
|||||
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х37 |
= |
0,204 |
+ 0,204 - 0,612 - 0,306 |
- 0 = -0,255; |
х37 |
= 10,98; |
||||
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х 47 |
= |
|
0,158×3 - 0,237 |
+ 0,632 = 0,751 . |
х47 = 33,257. |
|||||
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Выполняя (n+3)-й опыт, получаем результат y6 = 49 ед. Берем следующий симплекс, который состоит из опытов 1,
3, 4, 6 и 7. Самый плохой результат имеет первый опыт. Далее находим условия проведения восьмого опыта и т. д.
Если при следующем шаге результат последнего опыта бу- дет самым плохим из (n+1) опытов, составляющих последний симплекс, то придется возвратиться к предыдущему симплексу, исключив не наихудший опыт, а второй из самых плохих, что по- зволит двигаться дальше к экстремуму поверхности отклика. Од- нако это может не помочь, если все опыты, образующие сим- плекс, дают примерно одинаковые итоги. В этой ситуации сим- плекс начинает вращаться вокруг точки, соответствующей наи- лучшему результату.
Если задача исследования состоит в определении экстре- мальных условий протекания процесса, то критерий оптимально- сти может численно не оцениваться. Будет достаточным проран- жировать результаты опытов, составляющих симплекс, для нахо- ждения наихудшего результата.
Контрольные вопросы
1.Что такое симплекс?
2.Как рассчитать условия исходной серии опытов?
3.Каким образом вычислить условия каждого нового опыта?
4.В чем заключается сущность симплекс-метода?
89
Практическая работа № 11 ЦЕНТРАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ РОТАТАБЕЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Цель работы: 1) ознакомить с методом планирования экс- перимента; 2) овладеть практическими навыками статистической обработки результатов.
Рекомендуемая литература: [1, 2, 7].
Теоретические сведения
Процесс оптимизации приводит в область факторного про- странства, где кривизна поверхности отклика достаточно велика
и вследствие этого поверхность не может быть адекватно описана уравнением регрессии первого порядка. Для адекватного матема- тического описания здесь требуется многочлен более высокого по- рядка, например, отрезок ряда Тейлора, содержащий члены с квад- ратами переменных. С этой целью используют центральное ком- позиционное планирование эксперимента (ЦКП). Различают два вида ЦКП – ортогональное и ротатабельное (ЦКРП). Последний метод планирования получил большее распространение.
Уравнение регрессии в случае центрального композицион- ного ротатабельного планирования представляют в виде уравне-
ния второго порядка
y = b0 |
+ b1 X1 |
+ b2 X 2 + ...+ bn X n + b12 X1X 2 |
+ ... |
||||||||
...+ b |
|
X |
|
|
X |
|
+ b X 2 |
+ b X 2 |
+ ...+ b |
X 2 |
(1) |
|
n−1 |
n |
, |
||||||||
(n−1)n |
|
|
11 1 |
22 2 |
nn n |
|
|||||
где b0, b1, …, bn, b12, … b(n-1)n, b11, … bnn – коэффициенты уравне- ния регрессии.
Получить план центрального композиционного ротата- бельного планирования можно путем добавления некоторого ко-
личества точек к “ядру”, образованному линейным планом типа
2n.
Количество опытов при ЦКРП определют по формуле
96
N = 2n + 2n + n0 , |
(2) |
где 2n – количество опытов, образующих полный факторный экспе- римент; 2n – число т. н. “звездных” точек в факторном пространст-
ве, имеющих координаты (±α, 0, 0,....,0), (0, ±α, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ...,
±α); n0 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного пространства с координатами (0, 0, ..., 0); α – “звездное” плечо.
Так как к опытам ПФЭ добавлены опыты в “звездных” точ- ках и в центре плана, то отсюда и произошло название метода –
центральное композиционное планирование Этот метод позволяет получать более точное математиче-
ское описание поверхности отклика по сравнению с ортогональ- ным ЦКП, что достигается путем увеличения числа опытов в цен- тре плана и специальным выбором величины α. В табл. 1 приве- дены основные характеристики матриц ЦКРП.
|
|
|
Подготовка ЦКРП второго порядка |
|
Таблица 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Число |
Число опытов |
Число опытов |
Число опытов |
Общее |
Величина |
||||||
факторов |
в центре |
факторного |
в “звездных” |
число |
“звездного” |
||||||
n |
плана n0 |
планирования Nn |
точках N |
опытов N |
|
плеча α |
|||||
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
4 |
4 |
13 |
|
|
1,414 |
|
||
3 |
|
6 |
8 |
6 |
20 |
|
|
1,680 |
|
||
4 |
|
7 |
16 |
8 |
31 |
|
|
2,000 |
|
||
5 |
|
10 |
32 |
10 |
52 |
|
|
2,378 |
|
||
6 |
|
15 |
64 |
12 |
91 |
|
|
2,828 |
|
||
7 |
|
21 |
128 |
14 |
163 |
|
|
3,333 |
|
||
|
|
X2 |
|
Величину |
“звездно- |
||||||
|
+1,41 |
|
|||||||||
3 |
|
7 |
4 |
го” плеча α определяют |
|||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
для ПФЭ α = 24 |
; |
(3) |
||||||
|
|
|
|
||||||||
-1,414 5 |
-1 |
9 |
+1 6 +1,41 |
|
|
|
|
|
n− p |
|
|
для ДФЭ |
α = 2 4 . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
X1 |
|
|
|
(4) |
|||
|
|
-1 |
|
Так, для двух факто- |
|||||||
1 |
|
2 |
ров центральный |
компо- |
|||||||
|
8 |
||||||||||
|
-1,414 |
|
зиционный план |
второго |
|||||||
|
|
порядка может быть пред- |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
Рисунок. Графическая |
ставлен |
схемой (рисунок) |
|||||||||
интерпретация ЦКРП |
|
|
|
|
97 |
||||||
иматрицей планирования (табл. 2).
Кполному факторному эксперименту типа 22 (точки 1, 2, 3 и 4) добавляют некоторое число опытов в центре плана (точка 9) и
четыре “звездных” точки 5, 6, 7 и 8 с координатами (+α; 0); (-α;); (0; +α); и (0; -α).
|
Матрица ЦКРП двухфакторного эксперимента |
Таблица 2 |
||||||
|
|
|||||||
Система |
№ опыта |
X1 |
X2 |
X1X2 |
X12 |
X22 |
yj |
|
опытов |
|
|
|
|
|
|
|
|
ПФЭ |
1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
+1 |
+1 |
y1 |
|
2 |
+1 |
- 1 |
- 1 |
+1 |
+1 |
y2 |
||
типа 22 |
3 |
- 1 |
+1 |
- 1 |
+1 |
+1 |
y3 |
|
|
4 |
- 1 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
y4 |
|
Опыты |
5 |
- α |
0 |
0 |
α2 |
0 |
y5 |
|
в “звезд- |
6 |
+α |
0 |
0 |
α2 |
0 |
y6 |
|
ных” |
7 |
0 |
- α |
0 |
0 |
α2 |
y7 |
|
точках |
8 |
0 |
+α |
0 |
0 |
α2 |
y8 |
|
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y9 |
|
Опыты |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y10 |
|
11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y11 |
||
в центре |
||||||||
12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y12 |
||
плана |
||||||||
13 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
y13 |
||
|
||||||||
При ЦКРП для вычисления коэффициентов уравнения рег- рессии (1) и соответствующих оценок дисперсий находят сле- дующие константы:
A = 2B[(n +12)B − n] ;
B = |
|
nN |
||
|
|
; |
||
(n + 2)(N − n ) |
||||
|
|
0 |
|
|
C = |
N |
|||
|
. |
|||
N − n |
||||
|
|
0 |
|
|
На основании результатов эксперимента находят суммы:
N
S0 = å y j ;
j=1
(5)
(6)
(7)
(8)
98
N |
|
Si = åX ji y j ; |
(9) |
j=1 |
|
N |
|
Sik = åX ji X jk y j ; |
(10) |
j=1 |
|
N |
|
Sii = åX 2ji y j . |
(11) |
j=1
Формулы для расчета коэффициентов регрессионного урав-
нения имеют вид
|
|
|
|
|
|
2AB é |
|
|
|
|
n |
ù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b0 |
= |
|
|
êS0B(n + |
2)- CåSii ú |
; |
|
|
|
|
(12) |
||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ë |
|
CSi |
|
|
i=1 |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = |
C2S |
ik |
; |
|
|
|
|
|
|
(14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ik |
|
BN |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b = |
AC |
ìS |
C[B(n + 2)- n] |
+ C(1- B) n |
S |
ii |
- 2BS |
0 |
ü . |
(15) |
|||||||||
|
|||||||||||||||||||
ii |
N |
í |
ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
|
ý |
|
||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
þ |
|
||
Оценки дисперсий в определении коэффициентов регрес- сионного уравнения находят по формулам:
Sb2 = |
2AB(n + 2) |
Sy2 ; |
(16) |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 2 |
|
|
|
|
|
Sb2i |
= |
|
y |
; |
|
(17) |
|
|
|
N - n0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
C2S2 |
|
|
|
|
|
Sb2 |
= |
|
y |
|
; |
|
(18) |
|
|
N |
|
|||||
|
ik |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sb2 = |
AC2 Sy2 |
[B(n +1)- (n -1)], |
(19) |
|||||
N |
|
|
||||||
ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99