MODELIROVANIE_metodichka

Практическая работа № 4 ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цель работы: 1) ознакомить с методом однофакторного дисперсионного анализа; 2) овладеть практическими навыками

анализа технологических процессов методом однофакторного дисперсионного анализа.

Рекомендуемая литература: [5, 7, 11].

Теоретические сведения

В производственной практике часто возникает следующая задача. Аппаратчики, работая по сменам на одном и том же аппа- рате или агрегате, производят хлебобулочные или кондитерские изделия с различными качественными показателями. Необходимо выяснить, что является причиной появления неудовлетворитель- ных результатов: несовершенная конструкция аппарата или агре- гата, не позволяющая добиться хорошей воспроизводимости, или неодинаковая работа аппаратчиков.

Аналогичная задача возникает, например, при выработке од-

ного ассортимента хлебобулочных или кондитерских изделий на нескольких поточных линиях. Требуется установить, однотипны ли получаемые изделия по своим показателям качества, т. е. оце- нить, существенно ли воздействует фактор индивидуальности обо-

рудования каждой поточной линии на качественные показатели хлебобулочных или кондитерских изделий.

Рассмотренные и аналогичные задачи решают с применени- ем статистических методов дисперсионного анализа (одно- или многофакторный дисперсионный анализ).

Проведение дисперсионного анализа возможно, если резуль- таты наблюдений являются независимыми случайными величина- ми, подчиняющимися нормальному закону распределения с оди- наковыми дисперсиями.

Дисперсионный анализ основан на свойстве аддитивности дисперсии, т. е. на том, что полная дисперсия интересующего по- казателя равна сумме составляющих ее частных дисперсий.

30

Задача однофакторного дисперсионного анализа (ОДА) ста- вится следующим образом. Пусть изучается влияние фактора х на технологический процесс или некоторый показатель качества. В процессе эксперимента фактор поддерживают на u уровнях. На каждом уровне фактора проводится m дублирующих (параллель- ных) опытов. Результаты однофакторного эксперимента из u×т наблюдений представляют в виде матрицы наблюдений (табл. 1).

В табл. 1 приняты следующие обозначения: j – порядковый номер уровня варьирования фактора х (j = 1, 2,…, u); l – порядко- вый номер параллельного опыта в серии на каждом j-ом уровне (l = 1, 2, ..., mj); y jl – значение функции отклика, полученное в l-ом

параллельном опыте на j-ом уровне варьирования фактора.

При расположении наблюдений (см. табл. 1) их рассеяние между столбцами обусловливается ошибкой воспроизводимости, а рассеяние между строками – дополнительным действием изу- чаемого фактора.

Рассеяние отдельных наблюдений относительно общего среднего обусловлено действием как случайных причин, так и влиянием фактора х. Действие фактора случайности проявляется

в рассеянии (с оценкой дисперсии Sε2 ) наблюдений серий парал- лельных опытов yjl на каждом уровне х, вокруг среднего арифме- тического yj , своей серии.

31

Влияние же фактора х (с оценкой дисперсии Sx2 ) вызывает повышенное рассеяние средних арифметических y j серий отно- сительно общего среднего. Таким образом имеем равенство

где S02 – оценка «общей» дисперсии; Sε2 – оценка остаточной

дисперсии; Sx2 – оценка дисперсий «между сериями».

При обработке результатов ОДА предварительно опреде-

ляют:

суммы наблюдений по сериям

j=1 l=1

сумму квадратов итогов по сериям, поделенных на число наблю- дений в серии,

32

Затем определяют «общую» сумму квадратов отклонений отдельных наблюдений y jl от общего среднего

Она характеризует рассеяние наблюдений в результате дей- ствия обоих факторов, как случайности ε, так и изучаемого х.

Сумму квадратов отклонений «внутри серий», т. е. сумму

Она характеризует остаточное рассеяние случайных по- грешностей опытов, т. е. их воспроизводимость.

Сумму квадратов отклонений «между сериями» или рас- сеивание по уровням фактора х, т. е. взвешенную с учетом числа

т параллельных наблюдений в каждой серии сумму квадратов разностей между средними yj отдельных серий и общим сред-

ним по всей совокупности наблюдений определяют по формуле

Суммы квадратов отклонений (6) – (8), деленные на соот- ветствующие числа степеней свободы, дают три оценки диспер- сий, входящих в выражение (1):

оценка общей дисперсии S02 по всем ит наблюдениям

с числом степеней свободы f0 = um −1 ;

33

оценка дисперсии «внутри серий», или оценка остаточной дис- персии Sε2 , находят как среднее из выборочных дисперсий по

каждой серии в отдельности

Числа степеней свободы должны удовлетворять соотноше- нию f0 = fε + fx , которое используют для проверки.

Выполнение однофакторного дисперсионного анализа за- ключается в сравнении оценки дисперсии, вызванной изучаемым

фактором изменчивости Sx2 , и оценки остаточной дисперсии Sε2 , имеющей место уже после того, как влияние фактора x было уст- ранено (за счет разложения оценки общей дисперсии S02 на неза-

висимые составляющие) и обусловленной исключительно случай- ными причинами.

Для того чтобы влияние фактора х было признано сущест- венным, необходимо и достаточно, чтобы оценка дисперсии Sx2

значимо отличалась от Sε2 . Проверку нуль-гипотезы об однород-

ности этих выборочных дисперсий осуществляют с помощью критерия Фишера:

F x . (12)

= S 2

р Sε2

34

Влияние фактора x на изучаемый процесс признают суще- ственным, если выполняется условие

Если же условие (13) не выполняется, то влияние фактора x на изучаемый процесс можно признать несущественным. В этом случае все результаты наблюдений принадлежат одной генераль- ной совокупности, распределенной нормально.

Следует иметь в виду, что дисперсионный анализ наблюде-

ний эксперимента позволяет оценивать влияние фактора лишь в целом и что выводы, полученные с его помощью, относятся толь- ко к данному экспериментальному материалу при данной его сис- тематизации. Так, например, при изменении диапазона варьиро- вания изучаемого фактора или основной (базовой) точки оценка влияния последнего может измениться.

Пример

Основным сырьем макаронного производства является му- ка из твердой и мягкой стекловидной пшеницы – крупка и полу- крупка. К сожалению, из-за недостаточного выращивания зерна пшеницы твердых сортов и, соответственно, недостаточного про- изводства макаронной муки из него, главным образом, из-за эко- номических факторов допускается применение пшеничной хле- бопекарной муки общего помола, а в последнее время пшеничной муки общего назначения для выработки макаронных изделий.

Вместе с тем, на аграрном рынке России в последнее время появилась полукрупка, полученная по сокращенной схеме помола из зерна новых сортов пшеницы Степь 3, Степь 5 и пр., которая

так же может быть использованы при производстве макаронных изделий.

35

Всвязи с этим возникла необходимость в изучении влияния различных сортов муки на энергоемкость процесса замеса мака- ронного теста, который является основным технологическим процессом и предопределяет качество готовой продукции.

Вкачестве объекта исследования использовали макарон- ную полукрупку, полученную по сокращенной схеме помола из зерна новых сортов пшеницы Степь 3, Степь 5 урожая 2002 и 2003 г, в сравнении с макаронной крупкой из твердой пшеницы (контроль 1) и хлебопекарной мукой из мягкой пшеницы высшего сорта (контроль 2) (табл. 2).

Вкачестве независимой переменной х был принят сорт му- ки, используемой для замеса теста. В ходе эксперимента фактор х варьировался на u = 14 уровнях. В качестве функции отклика y,

характеризующей энергозатраты при замесе теста использовали удельную работу замеса теста (кДж/кг). При каждом уровне варь- ирования фактора проводили m = 2 параллельных опыта.

Представлены значения удельной работы замеса теста в двух параллельных опытах (m = 2) при всех уровнях (u = 14) варьирова- ния факторов (см. табл. 2).

Вдальнейшем использованы следующие обозначения: по- рядковый номер уровня варьирования фактора – j (j = 1, 2,…, u); порядковый номер параллельного опыта в серии на каждом j-ом уровне – l (l = 1, 2, ..., m).

Выполним статистическую обработку результатов экспе- римента с помощью однофакторного дисперсионного анализа.

Предварительно по формуле (2) рассчитываем сумму на-

блюдений по сериям Yj и квадрат наблюдений в параллельных

опытах y2jl (см. табл. 2).

Сумма квадратов всех M = um наблюдений, рассчитанная по формуле (3), составляет

u m

Q1 = ååy2jl = 452147,24 .

j=1 l=1

36

30

Сумма квадратов итогов по сериям, поделенных на число наблюдений в серии, определяем по формуле (4)

Q2 = åu 1 Yj2 = 452146,6 ,

j=1 m

значения квадратов сумм наблюдений по сериям, поделенных на число наблюдений в серии, представлены (см. табл. 2).

По формуле (5) определяем квадрат общего итога, поде- ленный на число всех наблюдений,

Далее по формулам (6) – (8) рассчитываем суммы S0, Sε и Sx.

S0 = Q1 - Q3 = 452147,24 - 443470,23 = 8677,01.

Sε = Q1 - Q2 = 452147,24 - 452146,6 = 0,64 .

Sx = Q2 - Q3 = 452146,6 - 443470,23 = 8676,37 .

Затем по формулам (9) – (11) определяем оценки диспер-

сий:

общая оценка дисперсии воспроизводимости S02 по всем ит на-

блюдениям

остаточная оценка дисперсии воспроизводимости Sε2

30

оценка выборочной дисперсии рассеивания «между сериями» Sx2

с числом степеней свободы fx = u −1 = 14 −1 =13 .

Для того чтобы влияние фактора х было признано сущест- венным, необходимо и достаточно, чтобы оценка дисперсии Sx2

значимо отличалась от Sε2 . Проверку нуль-гипотезы об однород-

ности этих выборочных дисперсий проводим с помощью крите- рия Фишера (12)

Табличное значение критерия Фишера (см. прил. 2) для принятого уровня значимости p = 5 % и числа степеней свободы

Проверка условия (13) показала, что Fр > Fт, следовательно, при доверительной вероятности 95 % влияние фактора х (вид му- ки) на энергоемкость процесса замеса макаронного теста (удель- ную работу замеса теста) следует признать существенным.

Задание

В лабораторных условиях изучали влияние вида муки на структурно-механические свойства макаронного теста.

31